Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os ( x, y ) tais que
y^{2} less 2 x-x^{2}, y less 0.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pontos (x,y) tais que
y^{2} < 2x - x^{2},\qquad y < 0.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A desigualdade y^{2} < 2x - x^{2} define, para cada x, um intervalo em y simétrico em torno do eixo x.
  • A condição extra y<0 limita-nos à metade inferior desse intervalo em y.
  • A expressão 2x - x^{2} só é positiva (permitindo valores reais de y) para certos x — precisamos descobrir quais.

Passo 2

Escolha do método: usaremos o método dos cascos cilíndricos (método das cascas), porque estamos girando em torno do eixo y e a região é naturalmente descrita por intervalos em x.
Fórmula do método dos cascos (explicada): ao girar um retângulo vertical de largura dx localizado em abscissa x em torno do eixo y, ele gera uma casca cilíndrica de raio x, altura igual ao comprimento vertical da região naquele x, e espessura dx. O volume elementar dessa casca é
dV = 2\pi\;(\text{raio})\;(\text{altura})\;dx = 2\pi x\cdot(\text{altura})\,dx.
Assim, o volume total é
V = 2\pi \int_{a}^{b} x\cdot(\text{altura}(x))\,dx,
onde a e b são os limites em x da região.

Passo 3

Encontrar o intervalo de x onde a região existe. Precisamos de 2x - x^{2} > 0 para que y^{2} seja menor que isso. Resolvendo:
2x - x^{2} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(2-x) > 0.
Isto acontece quando 0 < x < 2. Portanto a região está entre x=0 e x=2.

Passo 4

Determinar as curvas que limitam a região em y para um x fixo. Da desigualdade y^{2} < 2x - x^{2} obtemos
-\sqrt{2x - x^{2}} < y < \sqrt{2x - x^{2}}.
Mas o enunciado exige y<0, então para cada x\in(0,2) a região em y é
-\sqrt{2x - x^{2}} < y < 0.
Logo, a altura vertical da região (distância entre cima e baixo) em cada x é
\text{altura}(x) = 0 - \big(-\sqrt{2x - x^{2}}\big) = \sqrt{2x - x^{2}}.

Passo 5

Montar a integral do volume usando cascas: raio =x, altura =\sqrt{2x - x^{2}}, x vai de 0 a 2. Portanto
V = 2\pi \int_{0}^{2} x\sqrt{2x - x^{2}}\,dx.

Passo 6

Preparar a integração com uma mudança de variável que simplifica a raiz. Note que
2x - x^{2} = 1 - (x-1)^{2}.
Faça a substituição t = x-1. Então x = t+1, dx = dt. Quando x=0 temos t=-1; quando x=2 temos t=1. A integral torna-se
V = 2\pi \int_{-1}^{1} (t+1)\sqrt{1 - t^{2}}\,dt.

Passo 7

Separe a integral em duas partes e use simetrias:
V = 2\pi\left(\int_{-1}^{1} t\sqrt{1 - t^{2}}\,dt \;+\; \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - t^{2}}\,dt\right).
  • A primeira integral é zero porque a função t\sqrt{1-t^{2}} é ímpar (produto de função ímpar t por função par \sqrt{1-t^{2}}), e o intervalo [-1,1] é simétrico:
\int_{-1}^{1} t\sqrt{1 - t^{2}}\,dt = 0.
  • A segunda integral é a área sob a semi-circunferência de raio 1. Geometricamente,
\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\pi(1)^{2} = \frac{\pi}{2}.

Passo 8

Substituindo os resultados no valor de V:
V = 2\pi\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = 2\pi\cdot\frac{\pi}{2} = \pi^{2}.
Portanto o volume pedido é \pi^{2}.

Resposta

\pi^{2}

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