Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os (
) tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pontos
tais que
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A desigualdade
define, para cada , um intervalo em simétrico em torno do eixo . - A condição extra
limita-nos à metade inferior desse intervalo em . - A expressão
só é positiva (permitindo valores reais de ) para certos — precisamos descobrir quais.
Passo 2
Escolha do método: usaremos o método dos cascos cilíndricos (método das cascas), porque estamos girando em torno do eixo
e a região é naturalmente descrita por intervalos em
.
Fórmula do método dos cascos (explicada): ao girar um retângulo vertical de largura localizado em abscissa
em torno do eixo
, ele gera uma casca cilíndrica de raio
, altura igual ao comprimento vertical da região naquele
, e espessura
. O volume elementar dessa casca é
Fórmula do método dos cascos (explicada): ao girar um retângulo vertical de largura
Assim, o volume total é
onde
e
são os limites em
da região.
Passo 3
Encontrar o intervalo de
onde a região existe. Precisamos de
para que
seja menor que isso. Resolvendo:
Isto acontece quando
. Portanto a região está entre
e
.
Passo 4
Determinar as curvas que limitam a região em
para um
fixo. Da desigualdade
obtemos
Mas o enunciado exige
, então para cada
a região em
é
Logo, a altura vertical da região (distância entre cima e baixo) em cada
é
Passo 5
Montar a integral do volume usando cascas: raio
, altura
,
vai de
a
. Portanto
Passo 6
Preparar a integração com uma mudança de variável que simplifica a raiz. Note que
Faça a substituição
. Então
,
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral torna-se
Passo 7
Separe a integral em duas partes e use simetrias:
- A primeira integral é zero porque a função
é ímpar (produto de função ímpar por função par ), e o intervalo é simétrico:
- A segunda integral é a área sob a semi-circunferência de raio
. Geometricamente,
Passo 8
Substituindo os resultados no valor de
:
Portanto o volume pedido é
.