Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
da região delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta $ y = 3 $. A região está delimitada pelas parábolas $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x^2 $. Para resolver isso, vamos usar o método das lavadoras (também conhecido como método dos anéis) que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. Precisamos encontrar onde as parábolas se cruzam para definir os limites de integração. Igualando $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x^2 $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Isso significa que nossa área de interesse está entre esses valores de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das lavadoras. Esse método envolve calcular a diferença entre as áreas dos círculos externo e interno formados pela rotação das curvas em torno do eixo. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
onde:
- $ R(x) $ é a distância do eixo de rotação até a curva externa,
- $ r(x) $ é a distância do eixo de rotação até a curva interna,
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 4
Vamos identificar $ R(x) $ e $ r(x) $. Nosso eixo de rotação é $ y = 3 $.
- Curva externa: $ y = x^2 $. A distância até $ y = 3 $ é $ R(x) = 3 - x^2 $.
- Curva interna: $ y = 2 - x^2 $. A distância até $ y = 3 $ é $ r(x) = 3 - (2 - x^2) = 1 + x^2 $.
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Como a função $ 8 - 8x^2 $ é par, podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{32\pi}{3} $ unidades cúbicas.