Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=3 da região delimitada pelas parábolas y=x^2 e y=2-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta $ y = 3 $. A região está delimitada pelas parábolas $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x^2 $. Para resolver isso, vamos usar o método das lavadoras (também conhecido como método dos anéis) que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. Precisamos encontrar onde as parábolas se cruzam para definir os limites de integração. Igualando $ y = x^2 $ e $ y = 2 - x^2 $:
y = x^2
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Isso significa que nossa área de interesse está entre esses valores de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das lavadoras. Esse método envolve calcular a diferença entre as áreas dos círculos externo e interno formados pela rotação das curvas em torno do eixo. A fórmula geral para o volume $ V $ é:
V
onde:
  • $ R(x) $ é a distância do eixo de rotação até a curva externa,
  • $ r(x) $ é a distância do eixo de rotação até a curva interna,
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

Vamos identificar $ R(x) $ e $ r(x) $. Nosso eixo de rotação é $ y = 3 $.
  • Curva externa: $ y = x^2 $. A distância até $ y = 3 $ é $ R(x) = 3 - x^2 $.
  • Curva interna: $ y = 2 - x^2 $. A distância até $ y = 3 $ é $ r(x) = 3 - (2 - x^2) = 1 + x^2 $.
Agora, substituímos na fórmula do volume:
R(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 - x^2)^2 - (1 + x^2)^2 = (9 - 6x^2 + x^4) - (1 + 2x^2 + x^4) = 8 - 8x^2
Então, a integral fica:
V = pi integral-1^1 (8 - 8x^2) dx
Como a função $ 8 - 8x^2 $ é par, podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
8 - 8x^2

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{32\pi}{3} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados