Calcule o comprimento da parábola
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da parábola definida pela equação $ y = x^{2} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ até $ x = \frac{3}{2} $. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente de cálculo de comprimento de curvas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula para o comprimento $ L $ dessa curva é dada por:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. No nosso caso, $ y = x^{2} $, então vamos calcular essa derivada.
Passo 3
Calculando a derivada de $ y = x^{2} $:
Agora, vamos substituir essa derivada na fórmula do comprimento da curva:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de $ \sqrt{1 + kx^{2}} $ resulta em funções hiperbólicas. A integral de $ \sqrt{1 + 4x^{2}} $ é:
Onde $ \sinh^{-1} $ é a função seno hiperbólico inversa.
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de $ x = -\frac{1}{2} $ a $ x = \frac{3}{2} $:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos para $ x = \frac{3}{2} $:
Simplificando:
Agora, para $ x = -\frac{1}{2} $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, subtraímos os valores obtidos nos limites superiores e inferiores:
Simplificando os sinais:
Sabemos que $ \sinh^{-1}(-x) = -\sinh^{-1}(x) $, então:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores numéricos utilizando calculadora:
Sabendo que:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Resposta
O comprimento da parábola $ y = x^{2} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ até $ x = \frac{3}{2} $ é aproximadamente $ 3,40 $ unidades.