Calcule o comprimento da parábola y=x^2,-12 <= x <= 32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento da parábola definida pela equação $ y = x^{2} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ até $ x = \frac{3}{2} $. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente de cálculo de comprimento de curvas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula para o comprimento $ L $ dessa curva é dada por:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. No nosso caso, $ y = x^{2} $, então vamos calcular essa derivada.

Passo 3

Calculando a derivada de $ y = x^{2} $:
y = x^2
Agora, vamos substituir essa derivada na fórmula do comprimento da curva:
dydx = 2x

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral de $ \sqrt{1 + kx^{2}} $ resulta em funções hiperbólicas. A integral de $ \sqrt{1 + 4x^{2}} $ é:
raiz1 + kx^2
Onde $ \sinh^{-1} $ é a função seno hiperbólico inversa.

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de $ x = -\frac{1}{2} $ a $ x = \frac{3}{2} $:
x = -12
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos para $ x = \frac{3}{2} $:
x = 32
Simplificando:
322 raiz1 + 4(32)^2 + 14 sinh^-1(2 times 32) = 34 raiz1 + 9 + 14 sinh^-1(3)
Agora, para $ x = -\frac{1}{2} $:
34 raiz10 + 14 sinh^-1(3)
Simplificando:
x = -12

Passo 7

Agora, subtraímos os valores obtidos nos limites superiores e inferiores:
L = ( 34 raiz10 + 14 sinh^-1(3) ) - ( -14 raiz2 + 14 sinh^-1(-1) )
Simplificando os sinais:
L = 34 raiz10 + 14 sinh^-1(3) + 14 raiz2 - 14 sinh^-1(-1)
Sabemos que $ \sinh^{-1}(-x) = -\sinh^{-1}(x) $, então:
sinh^-1(-x) = -sinh^-1(x)

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos utilizando calculadora:
Sabendo que:
sinh^-1(1) approx 0,8814
sinh^-1(3) approx 1,8184
Substituindo:
L approx 34 times 3,1623 + 14 times 1,8184 + 14 times 1,4142 + 14 times 0,8814
Calculando cada termo:
34 times 3,1623 approx 2,3717
14 times 1,8184 approx 0,4546
14 times 1,4142 approx 0,3536
14 times 0,8814 approx 0,2204
Somando todos os termos:
2,3717 + 0,4546 + 0,3536 + 0,2204 approx 3,4003

Resposta

O comprimento da parábola $ y = x^{2} $ no intervalo de $ x = -\frac{1}{2} $ até $ x = \frac{3}{2} $ é aproximadamente $ 3,40 $ unidades.

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