Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que representa uma região de integração no plano xy. O enunciado é:
. Nosso objetivo aqui é desenhar essa região e depois mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como eles se relacionam entre si.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração. O primeiro passo é identificar os limites externos e internos da integral original. A integral externa vai de
até
. Para cada valor de
, o
varia de
até
.
Passo 3
No plano xy, vamos desenhar esses limites. Primeiro, trace o eixo
de 0 a 2. Em seguida, para cada
nesse intervalo,
varia de 0 até
. A linha
é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 2. Assim, a região de integração é o triângulo limitado pelo eixo
, o eixo
e a reta
.
Passo 4
Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
seja o primeiro a ser integrado e
o segundo. Observando o triângulo que desenhamos, para cada
,
começa de
até 2. Mas precisamos ter cuidado com os limites de
. Como
vai de 0 a 2 e
, o
varia de 0 até
.
Passo 5
Então, os novos limites de integração ficam assim:
vai de 0 a 4, e para cada
,
varia de
até 2. Assim, a ordem de integração foi trocada, e a integral fica:
Resposta
A região de integração é o triângulo delimitado pelos eixos
,
e pela reta
. Mudando a ordem de integração, a integral fica: