Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
integral0^2 integral0^2 x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que representa uma região de integração no plano xy. O enunciado é: integral0^2 integral0^2x f(x, y) , dy , dx. Nosso objetivo aqui é desenhar essa região e depois mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração estão definidos e como eles se relacionam entre si.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração. O primeiro passo é identificar os limites externos e internos da integral original. A integral externa vai de x = 0 até x = 2. Para cada valor de x, o y varia de 0 até y = 2x.

Passo 3

No plano xy, vamos desenhar esses limites. Primeiro, trace o eixo x de 0 a 2. Em seguida, para cada x nesse intervalo, y varia de 0 até 2x. A linha y = 2x é uma reta que passa pela origem e tem inclinação 2. Assim, a região de integração é o triângulo limitado pelo eixo x, o eixo y e a reta y = 2x.

Passo 4

Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que y seja o primeiro a ser integrado e x o segundo. Observando o triângulo que desenhamos, para cada y, x começa de y2 até 2. Mas precisamos ter cuidado com os limites de y. Como x vai de 0 a 2 e y = 2x, o y varia de 0 até y = 4.

Passo 5

Então, os novos limites de integração ficam assim: y vai de 0 a 4, e para cada y, x varia de y2 até 2. Assim, a ordem de integração foi trocada, e a integral fica:
integral0^4 integraly2^2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A região de integração é o triângulo delimitado pelos eixos x, y e pela reta y = 2x. Mudando a ordem de integração, a integral fica:
integral0^4 integraly2^2 f(x, y) , dx , dy

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