Calcule o volume do sólido do primeiro quadrante limitado pela espera rho=2, os planos coordenados e os cones phi=pi / 6 e phi=pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante (aquele espaço onde todas as coordenadas são positivas) limitado por algumas superfícies específicas:
  • Uma esfera com raio rho = 2.
  • Os planos coordenados (ou seja, os planos xy, yz e xz).
  • Dois cones definidos pelos ângulos phi = pi/6 e phi = pi/3.
Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Precisaremos entender um pouco sobre integrais em coordenadas esféricas para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
  • rho: a distância do ponto até a origem.
  • theta: o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • phi: o ângulo a partir do eixo z para baixo até o ponto.
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
V = integral triplaSólido rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta ó

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • rho varia de 0 até 2, porque a esfera tem raio 2.
  • phi varia de pi/6 até pi/3, conforme os cones dados.
  • theta varia de 0 até pi/2, já que estamos no primeiro octante (primeiro quadrante em xy, então 90 graus ou pi/2 radianos).

Passo 4

Em seguida, montamos a integral tripla com esses limites:
V = integral0^pi/2 integralpi/6^pi/3 integral0^2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em ordem: primeiro em relação a rho, depois phi e, por fim, theta.
  1. Integral em rho:
integral0^2 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^2 = 83
  1. Integral em phi:
integralpi/6^pi/3 sinphi , dphi = [ -cosphi ]pi/6^pi/3 = -cos(pi3) + cos(pi6) = -12 + raiz32 = raiz3 - 12
  1. Integral em theta:
integral0^pi/2 dtheta = pi2

Passo 6

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
V = 83 times raiz3 - 12 times pi2 = 83 times raiz3 - 12 times pi2 = 8(raiz3 - 1)pi12 = 2(raiz3 - 1)pi3

Resposta

O volume do sólido é 2(raiz3 - 1)pi3 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados