Calcule o volume do sólido do primeiro quadrante limitado pela espera
, os planos coordenados e os cones
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante (aquele espaço onde todas as coordenadas são positivas) limitado por algumas superfícies específicas:
- Uma esfera com raio
. - Os planos coordenados (ou seja, os planos
, e ). - Dois cones definidos pelos ângulos
e .
Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Precisaremos entender um pouco sobre integrais em coordenadas esféricas para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano a partir do eixo . -
: o ângulo a partir do eixo para baixo até o ponto.
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
-
varia de 0 até 2, porque a esfera tem raio 2. -
varia de até , conforme os cones dados. -
varia de 0 até , já que estamos no primeiro octante (primeiro quadrante em , então 90 graus ou radianos).
Passo 4
Em seguida, montamos a integral tripla com esses limites:
Passo 5
Vamos integrar em ordem: primeiro em relação a
, depois
e, por fim,
.
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.