Aplique a fórmula da área S de uma superfície z=f(x, y) contida numa região R do plano x y,
S=integral duplaR raiz(partial zpartial x)^2+(partial zpartial y)^2+1 d A
para calcular a área da parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte da esfera definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $ que está entre os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $. Para isso, vamos usar a fórmula da área $ S $ de uma superfície $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ R $ no plano $ xy $:
x^2 + y^2 + z^2 = 16
Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera para expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $:
z
Essa é a parte superior da esfera (já que estamos considerando $ z $ positivo). Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
x
y

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
S = integral duplaR raiz(-xraiz16 - x^2 - y^2)^2 + (-yraiz16 - x^2 - y^2)^2 + 1 , dA
Simplificando dentro da raiz:
S = integral duplaR raizx^2 + y^216 - x^2 - y^2 + 1 , dA
S = integral duplaR raiz1616 - x^2 - y^2 , dA
S = integral duplaR 4raiz16 - x^2 - y^2 , dA

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. O elemento de área $ dA $ em coordenadas polares fica $ r , dr , d\theta $. Além disso, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Então, a integral fica:
x = r costheta

Passo 5

Precisamos determinar os limites de integração para $ r $. Os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $ intersectam a esfera nos seguintes círculos:
Para $ z = 1 $:
r
Para $ z = 2 $:
z = 1
Então, $ r $ varia de $ 2\sqrt{3} $ a $ \sqrt{15} $.

Passo 6

Agora, substituímos os limites na integral:
S = 4 integral0^2pi integral2raiz3^raiz15 rraiz16 - r^2 , dr , dtheta
Resolva a integral interna em $ r $:
Vamos fazer uma substituição:
r
Então, a integral fica:
u = 16 - r^2 implies du = -2r , dr implies -12 du = r , dr

Passo 7

Agora, voltamos à integral em $ \theta $:
theta

Resposta

A área da parte da esfera entre os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $ é $ 8\pi $ unidades de área.

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