Aplique a fórmula da área
de uma superfície
contida numa região
do plano
,
para calcular a área da parte da esfera
entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte da esfera definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $ que está entre os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $. Para isso, vamos usar a fórmula da área $ S $ de uma superfície $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ R $ no plano $ xy $:
Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera para expressar $ z $ em função de $ x $ e $ y $:
Essa é a parte superior da esfera (já que estamos considerando $ z $ positivo). Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $. O elemento de área $ dA $ em coordenadas polares fica $ r , dr , d\theta $. Além disso, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.
Então, a integral fica:
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração para $ r $. Os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $ intersectam a esfera nos seguintes círculos:
Para $ z = 1 $:
Para $ z = 2 $:
Então, $ r $ varia de $ 2\sqrt{3} $ a $ \sqrt{15} $.
Passo 6
Agora, substituímos os limites na integral:
Resolva a integral interna em $ r $:
Vamos fazer uma substituição:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à integral em $ \theta $:
Resposta
A área da parte da esfera entre os planos $ z = 1 $ e $ z = 2 $ é $ 8\pi $ unidades de área.