Use uma integral dupla para calcular o volume sob a superfície z=3 x^2+3 y^2 e acima do retângulo R=(x, y): 1 <= x <= 3,0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume sob a superfície z = 3x^2 + 3y^2 acima do retângulo R = (x,y): 1 <= x <= 3,;0 <= y <= 2. Isso envolve cálculo de volume por integral dupla, usando a definição V = integral duplaR f(x,y),dA.

Passo 2

Montamos a integral dupla para o região R:
V = integralx=1^3 integraly=0^2 l(3x^2 + 3y^2r),dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integraly=0^2 l(3x^2 + 3y^2r),dy = 3x^2integral0^2 dy + 3integral0^2 y^2,dy = 3x^2cdot2 + 3cdot 2^33 = 6x^2 + 8
Assim a integral fica integral1^3 (6x^2 + 8),dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
integralx=1^3 (6x^2 + 8),dx = 6integral1^3 x^2,dx + 8integral1^3 dx = 6cdotl[x^33r]1^3 + 8cdot[x]1^3 = 6cdot263 + 8cdot2 = 52 + 16 = 68

Resposta

68

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