Calcule o volume do sólido representado por
sobre a regiāto
limitada pelo parabotoide
e 0 plano
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido. O enunciado fala de uma região
limitada pelo paraboloide e pelo plano
. Vou interpretar o paraboloide (texto com pequena confusão) como
Então:
- A região
é o sólido entre as superfícies e . - O enunciado pede o volume desse sólido.
Informações adicionais que tiramos da desigualdade: para que é necessário , logo e portanto . O ângulo percorre . A resolução começa a partir disso.
Passo 2
Explicação das coordenadas e do elemento de volume (aulas rápidas, sem pânico).
- Em coordenadas cilíndricas usamos
com . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale
Por que aparece o fator
? Porque a área de um anel fino de raio
e espessura
é aproximadamente
, e, localmente, ao separar em
obtemos um fator
(é o jacobiano da transformação do plano
para
). Então, ao integrar sobre uma região de revolução, sempre lembramos de multiplicar por
.
Passo 3
Determinar os limites de integração.
-
varia por todo o círculo: . - Para cada
, vai do eixo até a interseção com , ou seja . - Para cada
, vai da base até a superfície superior .
Portanto o volumeé o integral triplo
Passo 4
Fazer a integral interna em
. Como o integrando não depende de
, temos
Assim o volume reduz-se a uma integral dupla em
e
:
Passo 5
Integrar em
. Primeiro expandimos o integrando e integramos termo a termo:
Calculamos as primitivas:
Avaliaremos de
a
:
Agora os cálculos numéricos:
Subtraindo:
Logo
Passo 6
Agora integrar em
. Como o resultado anterior não depende de
,