Calcule o volume do sólido representado por f(r, \theta, z)=r^{2} sobre a regiāto R limitada pelo parabotoide \Lambda^{2}=9-z e 0 plano z=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que é pedido. O enunciado fala de uma região R limitada pelo paraboloide e pelo plano z=0. Vou interpretar o paraboloide (texto com pequena confusão) como
z = 9 - r^{2}.
Então:
  • A região R é o sólido entre as superfícies \;z=0\; e \;z=9-r^{2}\;.
  • O enunciado pede o volume desse sólido.
    Informações adicionais que tiramos da desigualdade \;z=9-r^{2}\;: para que \;z\ge 0\; é necessário \;9-r^{2}\ge 0\;, logo \;r^{2}\le 9\; e portanto 0\le r\le 3. O ângulo \theta percorre [0,2\pi]. A resolução começa a partir disso.

Passo 2

Explicação das coordenadas e do elemento de volume (aulas rápidas, sem pânico).
  • Em coordenadas cilíndricas usamos \;(r,\theta,z)\; com \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z\;.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Por que aparece o fator r? Porque a área de um anel fino de raio r e espessura dr é aproximadamente 2\pi r\,dr, e, localmente, ao separar em d\theta obtemos um fator r (é o jacobiano da transformação do plano (x,y) para (r,\theta)). Então, ao integrar sobre uma região de revolução, sempre lembramos de multiplicar por r.

Passo 3

Determinar os limites de integração.
  • \theta varia por todo o círculo: \;0\le \theta\le 2\pi.
  • Para cada \theta, r vai do eixo até a interseção com \;z=0, ou seja \;0\le r\le 3.
  • Para cada (r,\theta), z vai da base \;z=0\; até a superfície superior \;z=9-r^{2}.
    Portanto o volume V é o integral triplo
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Fazer a integral interna em z. Como o integrando não depende de z, temos
\int_{0}^{9-r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{9-r^{2}}=r(9-r^{2}).
Assim o volume reduz-se a uma integral dupla em r e \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r(9-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em r. Primeiro expandimos o integrando e integramos termo a termo:
\int_{0}^{3} r(9-r^{2})\,dr=\int_{0}^{3} (9r-r^{3})\,dr.
Calculamos as primitivas:
\int 9r\,dr = \frac{9}{2}r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr=\frac{1}{4}r^{4}.
Avaliaremos de 0 a 3:
\left[\frac{9}{2}r^{2}-\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2}\cdot 3^{2} - \frac{1}{4}\cdot 3^{4}.
Agora os cálculos numéricos:
\frac{9}{2}\cdot 3^{2} = \frac{9}{2}\cdot 9 = \frac{81}{2}, \qquad \frac{1}{4}\cdot 3^{4}=\frac{1}{4}\cdot 81=\frac{81}{4}.
Subtraindo:
\frac{81}{2}-\frac{81}{4}=\frac{81}{4}.
Logo \displaystyle \int_{0}^{3} r(9-r^{2})\,dr=\frac{81}{4}.

Passo 6

Agora integrar em \theta. Como o resultado anterior não depende de \theta,
V=\int_{0}^{2\pi} \frac{81}{4}\,d\theta = \frac{81}{4}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{81}{4}\cdot 2\pi = \frac{81\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{81\pi}{2}

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