A temperatura em um ponto (x, y, z) dentro de um sólido cilíndrico é dada por T(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+z^{2}. Encontre as temperaturas máxima e minima absolutas no sólido definido por x^{2}+y^{2} \leq 4 e 0 \leq z \leq 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do problema:
    • A temperatura no ponto (x,y,z) é \,T(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}.
    • O sólido é o cilindro fechado definido por \,x^{2}+y^{2}\le 4 e 0\le z\le 2.
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a temperatura máxima absoluta dentro do sólido.
    • Encontrar a temperatura mínima absoluta dentro do sólido.

Passo 2

Observação geral sobre o método (por que esse caminho): a função T é contínua e o domínio é compacto (fechado e limitado), logo pela Teoria do Valor Extremo T atinge máximo e mínimo absolutos no domínio. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou nas várias partes da fronteira (curva lateral x^{2}+y^{2}=4 com 0\le z\le2, disco superior z=2 com x^{2}+y^{2}\le4 e disco inferior z=0 com x^{2}+y^{2}\le4). Vou examinar cada caso.

Passo 3

Procuro pontos críticos no interior do sólido (onde x^{2}+y^{2}<4 e 0<z<2) usando o gradiente.
  • Definição/ideia rápida: pontos críticos interiores de uma função diferenciável ocorrem onde o gradiente é o vetor zero. Aqui
\nabla T=(\partial_x T,\partial_y T,\partial_z T)=(2x,\,4y,\,2z).
  • Igualando a zero:
2x=0,\qquad 4y=0,\qquad 2z=0
portanto
x=0,\quad y=0,\quad z=0.
Esse ponto (0,0,0) pertence ao domínio (satisfeitas as desigualdades), logo é um candidato. Avaliando
T(0,0,0)=0.
Como T é soma de quadrados, T\ge 0 em todo domínio; portanto esse valor é o menor possível globalmente. Conclusão provisória: o mínimo absoluto é T_{\min}=0 atingido em (0,0,0). Ainda vou confirmar que não existe valor negativo em nenhuma fronteira (impossível, pois soma de quadrados), então isso confirma mínimo absoluto.

Passo 4

Agora trato a fronteira: disco superior z=2 (com x^{2}+y^{2}\le 4). Reduzo a função a duas variáveis:
T(x,y,2)=x^{2}+2y^{2}+4.
Quero máximo e mínimo de f(x,y)=x^{2}+2y^{2} no disco x^{2}+y^{2}\le 4.
  • Ideia: f é não negativa, então o mínimo em todo disco é em (0,0), dando
T(0,0,2)=0+0+4=4.
  • Para o máximo no disco: pelo teorema do extremo, o máximo ocorre na fronteira do disco x^{2}+y^{2}=4. Uso multiplicadores de Lagrange para maximizar f(x,y)=x^{2}+2y^{2} com a restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0.
Configuro o sistema:
\nabla f=\lambda \nabla g \quad\Rightarrow\quad (2x,\,4y) = \lambda (2x,\,2y).
Isto dá as equações
2x=2\lambda x \quad\text{e}\quad 4y=2\lambda y.
Das quais seguem possibilidades:
  • Se x\neq 0 então \lambda=1.
  • Se y\neq 0 então \lambda=2.
Não é possível ter simultaneamente \lambda=1 e \lambda=2, logo pelo menos uma coordenada é zero.
Casos:
  • Se x=0, então y^{2}=4 pela restrição, ou seja y=\pm 2. Então f(0,\pm2)=0+2\cdot4=8.
  • Se y=0, então x^{2}=4, ou seja x=\pm2. Então f(\pm2,0)=4+0=4.
Portanto o máximo de f sobre a circunferência é 8, obtido em (0,\pm2). Voltando a T no topo ( z=2):
T(0,\pm2,2)=8+4=12.
O mínimo no topo já vimos é 4 em (0,0,2). Esses valores servem como candidatos globais.

Passo 5

Disco inferior z=0 (com x^{2}+y^{2}\le 4). Aqui
T(x,y,0)=x^{2}+2y^{2}.
  • Mínimo no disco: em (0,0,0) já visto, T(0,0,0)=0.
  • Máximo no disco: como antes, máximo de x^{2}+2y^{2} com x^{2}+y^{2}\le4 ocorre na fronteira x^{2}+y^{2}=4 e, pelo cálculo do passo anterior, o maior valor é 8 (em (0,\pm2,0)). Assim no disco inferior o maior valor é 8.

Passo 6

Curva lateral (superfície lateral do cilindro): x^{2}+y^{2}=4 e 0\le z\le 2. Nesta superfície podemos escrever T usando a restrição:
  • Como x^{2}+y^{2}=4, temos x^{2}+2y^{2}=(x^{2}+y^{2})+y^{2}=4+y^{2}. Assim
T=4+y^{2}+z^{2}.
Aqui y^{2} varia entre 0 e 4 (porque |y|\le 2) e z^{2} varia entre 0 e 4. Para maximizar T escolhemos os maiores valores possíveis: y^{2}=4 e z^{2}=4. Isso corresponde a pontos com y=\pm 2, x=0 e z=\pm 2, mas z deve estar em [0,2], então z=2. Logo pontos candidatos de máximo na lateral são (0,\pm2,2), e o valor é
T(0,\pm2,2)=4+4+4=12.
Para o mínimo na lateral escolhemos y^{2}=0 e z^{2}=0, ou seja y=0, z=0. Isso implica x^{2}=4 (pela restrição), então pontos (\pm2,0,0) dão
T(\pm2,0,0)=4+0+0=4.
Mas já vimos que o mínimo global 0 é menor que 4, então esses 4 são apenas mínimos locais na lateral.

Passo 7

Comparando todos os candidatos encontrados:
  • Interior: (0,0,0) com T=0.
  • Disco superior: mínimo T=4 em (0,0,2); máximo T=12 em (0,\pm2,2).
  • Disco inferior: máximo T=8 em (0,\pm2,0).
  • Lateral: máximo T=12 em (0,\pm2,2); mínimos locais T=4 em (\pm2,0,0).
O maior valor entre todos os candidatos é 12, e o menor é 0. Assim os extremos absolutos são:
  • Temperatura mínima absoluta T_{\min}=0 em (0,0,0).
  • Temperatura máxima absoluta T_{\max}=12 em (0,2,2) e (0,-2,2).

Resposta

T_{\min}=0 em (0,0,0)
T_{\max}=12 em (0,2,2) e (0,-2,2)

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