A temperatura em um ponto
dentro de um sólido cilíndrico é dada por
. Encontre as temperaturas máxima e minima absolutas no sólido definido por
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do problema:
- A temperatura no ponto
é . - O sólido é o cilindro fechado definido por
e .
- A temperatura no ponto
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar a temperatura máxima absoluta dentro do sólido.
- Encontrar a temperatura mínima absoluta dentro do sólido.
Passo 2
Observação geral sobre o método (por que esse caminho): a função
é contínua e o domínio é compacto (fechado e limitado), logo pela Teoria do Valor Extremo
atinge máximo e mínimo absolutos no domínio. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou nas várias partes da fronteira (curva lateral
com
, disco superior
com
e disco inferior
com
). Vou examinar cada caso.
Passo 3
Procuro pontos críticos no interior do sólido (onde
e
) usando o gradiente.
- Definição/ideia rápida: pontos críticos interiores de uma função diferenciável ocorrem onde o gradiente é o vetor zero. Aqui
- Igualando a zero:
portanto
Esse ponto
pertence ao domínio (satisfeitas as desigualdades), logo é um candidato. Avaliando
Como
é soma de quadrados,
em todo domínio; portanto esse valor é o menor possível globalmente. Conclusão provisória: o mínimo absoluto é
atingido em
. Ainda vou confirmar que não existe valor negativo em nenhuma fronteira (impossível, pois soma de quadrados), então isso confirma mínimo absoluto.
Passo 4
Agora trato a fronteira: disco superior
(com
). Reduzo a função a duas variáveis:
Quero máximo e mínimo de
no disco
.
- Ideia:
é não negativa, então o mínimo em todo disco é em , dando
- Para o máximo no disco: pelo teorema do extremo, o máximo ocorre na fronteira do disco
. Uso multiplicadores de Lagrange para maximizar com a restrição .
Configuro o sistema:
Isto dá as equações
Das quais seguem possibilidades:
- Se
então . - Se
então .
Não é possível ter simultaneamente
e
, logo pelo menos uma coordenada é zero.
Casos:
- Se
, então pela restrição, ou seja . Então . - Se
, então , ou seja . Então .
Portanto o máximo de
sobre a circunferência é
, obtido em
. Voltando a
no topo (
):
O mínimo no topo já vimos é
em
. Esses valores servem como candidatos globais.
Passo 5
Disco inferior
(com
). Aqui
- Mínimo no disco: em
já visto, . - Máximo no disco: como antes, máximo de
com ocorre na fronteira e, pelo cálculo do passo anterior, o maior valor é (em ). Assim no disco inferior o maior valor é .
Passo 6
Curva lateral (superfície lateral do cilindro):
e
. Nesta superfície podemos escrever
usando a restrição:
- Como
, temos . Assim
Aqui
varia entre
e
(porque
) e
varia entre
e
. Para maximizar
escolhemos os maiores valores possíveis:
e
. Isso corresponde a pontos com
,
e
, mas
deve estar em
, então
. Logo pontos candidatos de máximo na lateral são
, e o valor é
Para o mínimo na lateral escolhemos
e
, ou seja
,
. Isso implica
(pela restrição), então pontos
dão
Mas já vimos que o mínimo global 0 é menor que 4, então esses 4 são apenas mínimos locais na lateral.
Passo 7
Comparando todos os candidatos encontrados:
- Interior:
com . - Disco superior: mínimo
em ; máximo em . - Disco inferior: máximo
em . - Lateral: máximo
em ; mínimos locais em .
O maior valor entre todos os candidatos é
, e o menor é
. Assim os extremos absolutos são:
- Temperatura mínima absoluta
em . - Temperatura máxima absoluta
em e .