Calcule a integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{0}^{2-y} z d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{0}^{2-y} z\, d x\, d z\, d y.
Informações dadas:
  • A integração é feita na ordem: primeiro em x (limites 0 a 2-y), depois em z (limites 0 a \sqrt{4-y^{2}}), e por fim em y (limites 0 a 2).
  • O integrando é a função z, ou seja, a variável de integração do meio ( z) aparece no integrando; x não aparece no integrando.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Integrar primeiro em x. Aqui a variável de integração é x e o integrando z não depende de x, então z é tratado como constante ao integrar em x. Lembrando a fórmula básica
\int_{a}^{b} c\, dx = c(b-a)\quad\text{quando }c\text{ é constante em }x,é
temos
\int_{0}^{2-y} z\, dx = z\bigl(2-y\bigr).
Portanto a integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} z\bigl(2-y\bigr)\, d z\, d y.

Passo 3

Agora integrar em z. A constante em relação a z é (2-y), então
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} z\bigl(2-y\bigr)\, d z = \bigl(2-y\bigr)\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} z\, d z.
Usando a primitiva \int z\,dz = \tfrac{1}{2}z^{2}, obtemos
\bigl(2-y\bigr)\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} = \bigl(2-y\bigr)\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(4-y^{2}\bigr).
Então a integral torna-se
\int_{0}^{2} \frac{2-y}{2}\bigl(4-y^{2}\bigr)\, d y.

Passo 4

Simplificar o integrando antes de integrar em y. Multiplicando \dfrac{2-y}{2} por (4-y^{2}):
\frac{2-y}{2}\bigl(4-y^{2}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(2(4-y^{2}) - y(4-y^{2})\bigr).
Fazendo as multiplicações:
2(4-y^{2}) = 8 - 2y^{2}, \qquad y(4-y^{2}) = 4y - y^{3}.
Logo
\frac{2-y}{2}\bigl(4-y^{2}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(8 - 2y^{2} - 4y + y^{3}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(8 - 4y - 2y^{2} + y^{3}\bigr).

Passo 5

Agora calculamos a integral em y:
\int_{0}^{2} \frac{1}{2}\bigl(8 - 4y - 2y^{2} + y^{3}\bigr)\, d y = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}\bigl(8 - 4y - 2y^{2} + y^{3}\bigr)\, d y.
Encontrar primitivas termo a termo:
\int 8\,dy = 8y,\qquad \int (-4y)\,dy = -2y^{2},\qquad \int (-2y^{2})\,dy = -\tfrac{2}{3}y^{3},\qquad \int y^{3}\,dy = \tfrac{1}{4}y^{4}.
Portanto uma primitiva do polinômio é
8y - 2y^{2} - \tfrac{2}{3}y^{3} + \tfrac{1}{4}y^{4}.
Avaliar de 0 a 2 e multiplicar por \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Avaliação em y=2:
8(2) - 2(2)^{2} - \tfrac{2}{3}(2)^{3} + \tfrac{1}{4}(2)^{4} = 16 - 8 - \tfrac{16}{3} + 4.
Somando os termos não fracionários: 16 - 8 + 4 = 12. Então
12 - \tfrac{16}{3} = \frac{36}{3} - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}.
Agora multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3}.

Resposta

\dfrac{10}{3}

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