Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, dos seguintes conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq x \leq 2, \frac{1}{x} \leq y \leq 1\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região \displaystyle A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;1\le x\le2,\;1/x\le y\le1\}.
O conteúdo é volume de sólidos de revolução e usaremos o método dos anéis (washers), onde o volume é
V=\pi\int_{x=a}^{b}\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Identificamos as curvas que limitam y: a borda superior é y=1 e a borda inferior é y=1/x.
Ao girar em torno do eixo x:
– raio externo R(x)=1,
– raio interno r(x)=1/x.

Passo 3

Escrevemos o integral do volume entre x=1 e x=2:
V=\pi\int_{1}^{2}\bigl(1^2 - (1/x)^2\bigr)\,dx =\pi\int_{1}^{2}\bigl(1 - x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int\bigl(1 - x^{-2}\bigr)\,dx =\int1\,dx - \int x^{-2}\,dx =x - \bigl(-x^{-1}\bigr) =x + \frac1x.
Avaliada de 1 a 2:
\Bigl[x + \frac1x\Bigr]_{1}^{2} =\Bigl(2 + \tfrac12\Bigr)-\bigl(1 + 1\bigr) =\frac52 - 2 =\frac12.

Passo 5

Multiplicando por \pi, obtemos
V=\pi\cdot\frac12=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\frac{\pi}{2}.

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