Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo
, dos seguintes conjuntos:
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região
O conteúdo é cálculo de sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis). Vamos fatiar o sólido por planos perpendiculares ao eixo
e integrar a área das seções transversais.
Passo 2
Para cada
fixo, determinamos o intervalo de
em
.
- Se
, então e a condição impõe
enquantodá
Logo, para:
- Se
, então faz ser automática, restando apenas
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, a seção em
é um disco ou um anel:
- Para
temos um anel de raios externo
e interno
.
A área é
- Para
a seção é um disco de raio
, logo
Passo 4
Integramos
de
a
, separando os intervalos simétricos:
Pela simetria,
então
Calculemos
Logo,
e
Passo 5
Somando as parcelas: