Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, dos seguintes conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\right\};

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;1\le x^2+y^2\le4,\;y\ge0\}.
O conteúdo é cálculo de sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis). Vamos fatiar o sólido por planos perpendiculares ao eixo x e integrar a área das seções transversais.

Passo 2

Para cada x fixo, determinamos o intervalo de y em A.
  • Se |x|\le1, então x^2\le1 e a condição x^2+y^2\ge1 impõe
    y\ge\sqrt{1-x^2},
    enquanto x^2+y^2\le4
    y\le\sqrt{4-x^2}.
    Logo, para |x|\le1:
y\in\bigl[\sqrt{1-x^2},\,\sqrt{4-x^2}\bigr].
  • Se 1\le|x|\le2, então x^2\ge1 faz x^2+y^2\ge1 ser automática, restando apenas
0\le y\le\sqrt{4-x^2}.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, a seção em x é um disco ou um anel:
  • Para |x|\le1 temos um anel de raios externo
    \,R_{\rm out}=\sqrt{4-x^2}\, e interno
    \,R_{\rm in}=\sqrt{1-x^2}\,.
    A área é
A(x)=\pi\bigl(R_{\rm out}^2 - R_{\rm in}^2\bigr) =\pi\bigl[(4-x^2)-(1-x^2)\bigr] =3\pi.
  • Para 1\le|x|\le2 a seção é um disco de raio
    \,R=\sqrt{4-x^2}\,, logo
A(x)=\pi\bigl(4-x^2\bigr).

Passo 4

Integramos A(x) de x=-2 a 2, separando os intervalos simétricos:
V = \int_{-2}^{-1}\pi(4-x^2)\,dx + \int_{-1}^{1}3\pi\,dx + \int_{1}^{2}\pi(4-x^2)\,dx.
Pela simetria,
\int_{-2}^{-1}\pi(4-x^2)\,dx =\int_{1}^{2}\pi(4-x^2)\,dx,
então
V = 2\int_{1}^{2}\pi(4-x^2)\,dx \;+\; 3\pi\,(1-(-1)).
Calculemos
\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx =\Bigl[4x-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(8-\tfrac{8}{3}\bigr)-\bigl(4-\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{5}{3}.
Logo,
2\int_{1}^{2}\pi(4-x^2)\,dx =2\pi\cdot\tfrac{5}{3}=\tfrac{10\pi}{3},
e
3\pi\,(1-(-1))=3\pi\cdot2=6\pi.

Passo 5

Somando as parcelas:
V = 6\pi \;+\;\frac{10\pi}{3} = \frac{18\pi+10\pi}{3} = \frac{28\pi}{3}.

Resposta

\boxed{V = \frac{28\pi}{3}}.

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