Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, dos seguintes conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2, \sqrt{x} \leq y \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região \displaystyle A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;0\le x\le2,\;\sqrt{x}\le y\le3\}.
O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução, usando o método dos discos ou arruelas.

Passo 2

Para cada valor de x\in[0,2], a seção transversal perpendicular ao eixo x é uma arruela de raio externo
R(x)=3
e raio interno
r(x)=\sqrt{x}.

Passo 3

A fórmula pelo método das arruelas é
V = \int_{a}^{b} \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx
com a=0 e b=2.

Passo 4

Substituindo R(x)=3 e r(x)=\sqrt{x} na fórmula, obtemos
R(x)^2 - r(x)^2 = 9 - x,
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V = \pi \int_{0}^{2} (9 - x)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{2}(9 - x)\,dx = \bigl[9x - \tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{2} = (18 - 2) - 0 = 16.
Portanto
V = 16\pi.

Resposta

16\pi

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