Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas curvas dadas.
x=1+y^{2}, x=0, y=1, y=2;

Passo 1

Estamos rodando em torno do eixo y a região no plano (x,y) limitada por
x=1+y^{2},\quad x=0,\quad y=1,\quad y=2.
Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos (ou “washers”), em que cada seção transversal perpendicular ao eixo y é um círculo de raio igual à abscissa mais à direita da região.

Passo 2

Em cada nível y com 1\le y\le2, o raio externo do disco é
R(y)=x_{\max}=1+y^{2},
e não há furo interno (o raio interno é zero). Logo o volume elementar é
dV=\pi\bigl[R(y)\bigr]^{2}\,dy=\pi\,(1+y^{2})^{2}\,dy.

Passo 3

O volume total vem de
V=\int_{y=1}^{2}\pi\,(1+y^{2})^{2}\,dy.

Passo 4

Expandindo o quadrado temos
(1+y^{2})^{2}=y^{4}+2y^{2}+1,
então
V=\pi\int_{1}^{2}\bigl(y^{4}+2y^{2}+1\bigr)\,dy =\pi\Bigl[\int y^{4}\,dy+2\int y^{2}\,dy+\int 1\,dy\Bigr].
Calculando indefinidamente,
\int y^{4}\,dy=\frac{y^{5}}{5},\quad \int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3},\quad \int 1\,dy=y.
Logo o antiderivado é
\frac{y^{5}}{5}+2\cdot\frac{y^{3}}{3}+y =\frac{y^{5}}{5}+\frac{2y^{3}}{3}+y.

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
\left[\frac{y^{5}}{5}+\frac{2y^{3}}{3}+y\right]_{1}^{2} =\Bigl(\frac{2^{5}}{5}+\frac{2\cdot2^{3}}{3}+2\Bigr) -\Bigl(\frac{1^{5}}{5}+\frac{2\cdot1^{3}}{3}+1\Bigr).
Isso dá
\Bigl(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1\Bigr) =\frac{31}{5}+\frac{14}{3}+1 =\frac{178}{15}.

Passo 6

Multiplicando por \pi, o volume final é
V=\pi\cdot\frac{178}{15}=\frac{178\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{178\pi}{15}

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