Calcule o volume sólido
dado por
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
de pontos
que satisfazem simultaneamente as duas condições:
e
A pergunta é: calcular o volume do sólido
(ou seja, o volume da região do espaço que satisfaz essas duas desigualdades).
Passo 2
Vamos escolher um sistema de coordenadas adequado para integrar o volume. Vou usar coordenadas esféricas (porque uma das desigualdades envolve
— natural para esferas — e a outra é uma superfície cônica, que tem representação simples em esféricas).
Definição das coordenadas esféricas que vou usar:
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
positivo) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Importante: o elemento de volume em esféricas é
Vou explicar cada limite depois.
Passo 3
Interpreto a desigualdade cônica
em esféricas. Substituindo
e
obtemos
Para
isso dá
Como
para pontos com
, a condição é equivalente a
Portanto o cone corresponde ao conjunto de direções com
entre
e
.
Passo 4
Agora transformo a desigualdade esférica
. Primeira forma de ver: podemos completar o quadrado em
,
Isto mostra que a desigualdade descreve uma esfera de centro
e raio
. Em coordenadas esféricas também podemos escrever diretamente usando
e
:
Como
, isso é equivalente a
Observação:
é positivo para
, e aqui
, então a desigualdade é bem definida.
Passo 5
Juntando as duas condições, em esféricas a região
é dada por
Portanto o volume
é a integral tripla
Aqui usei o elemento de volume
já explicado.
Passo 6
Calculo primeiro a integral em
:
Assim a integral do volume reduz para
Passo 7
Faço a integral em
(é trivial) e depois a integral em
. A integral em
dá um fator
:
Para integrar em
faço a substituição
. Então
. Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora calculo essa integral:
Note que
e então
. Portanto
Passo 8
Substituo esse resultado na expressão para
:
Cancelando o
obtemos