Calcule o volume sólido S dado por S=\left\{(x, y, z) \subset \mathbb{R}^{3} ; z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right. e \left.x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq z\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem simultaneamente as duas condições:
z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}
e
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq z.
A pergunta é: calcular o volume do sólido S (ou seja, o volume da região do espaço que satisfaz essas duas desigualdades).

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas adequado para integrar o volume. Vou usar coordenadas esféricas (porque uma das desigualdades envolve x^{2}+y^{2}+z^{2} — natural para esferas — e a outra é uma superfície cônica, que tem representação simples em esféricas).
Definição das coordenadas esféricas que vou usar:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z positivo) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Importante: o elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Vou explicar cada limite depois.

Passo 3

Interpreto a desigualdade cônica z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas. Substituindo z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi obtemos
\rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi.
Para \rho\ge 0 isso dá
\cos\varphi \ge \sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi \le 1.
Como \varphi\in[0,\pi/2] para pontos com z\ge 0, a condição é equivalente a
\varphi \le \frac{\pi}{4}.
Portanto o cone corresponde ao conjunto de direções com \varphi entre 0 e \pi/4.

Passo 4

Agora transformo a desigualdade esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}\le z. Primeira forma de ver: podemos completar o quadrado em z,
x^{2}+y^{2}+z^{2}-z \le 0
x^{2}+y^{2}+\Bigl(z-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2} \le \Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}.
Isto mostra que a desigualdade descreve uma esfera de centro \bigl(0,0,\tfrac{1}{2}\bigr) e raio \tfrac{1}{2}. Em coordenadas esféricas também podemos escrever diretamente usando \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e z=\rho\cos\varphi:
\rho^{2} \le \rho\cos\varphi.
Como \rho\ge 0, isso é equivalente a
\rho \le \cos\varphi.
Observação: \cos\varphi é positivo para \varphi\in[0,\pi/2), e aqui \varphi\le\pi/4, então a desigualdade é bem definida.

Passo 5

Juntando as duas condições, em esféricas a região S é dada por
0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4},\qquad 0 \le \rho \le \cos\varphi.
Portanto o volume V(S) é a integral tripla
V(S)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\cos\varphi} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui usei o elemento de volume \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta já explicado.

Passo 6

Calculo primeiro a integral em \rho:
\int_{0}^{\cos\varphi} \rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{\cos\varphi} = \frac{1}{3}\cos^{3}\varphi.
Assim a integral do volume reduz para
V(S)=\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{3}\cos^{3}\varphi\sin\varphi \,d\varphi.

Passo 7

Faço a integral em \theta (é trivial) e depois a integral em \varphi. A integral em \theta dá um fator 2\pi:
V(S)=2\pi\cdot\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi\sin\varphi \,d\varphi.
Para integrar em \varphi faço a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Os limites mudam: quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi\sin\varphi \,d\varphi = -\int_{1}^{\sqrt{2}/2} u^{3}\,du = \int_{\sqrt{2}/2}^{1} u^{3}\,du.
Agora calculo essa integral:
\int_{\sqrt{2}/2}^{1} u^{3}\,du = \left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{\sqrt{2}/2}^{1} = \frac{1}{4}\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^{4}\Bigr).
Note que \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{2} e então \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^{4}=\tfrac{1}{4}. Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi\sin\varphi \,d\varphi = \frac{1}{4}\Bigl(1-\tfrac{1}{4}\Bigr)=\frac{3}{16}.

Passo 8

Substituo esse resultado na expressão para V(S):
V(S)=2\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{16}.
Cancelando o 3 obtemos
V(S)=2\pi\cdot\frac{1}{16}=\frac{\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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