Usando coordenadas esféricas, calcule
\iiint_{B} z d x d y d z, onde B é o conjunto 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 e z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{B} z\,dx\,dy\,dz
onde B é o conjunto definido por 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 e z\geq 0.
Informações relevantes dadas:
  • A região B é a casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2.
  • Só consideramos a metade superior porque z\geq 0.
  • A função a integrar é z.

Passo 2

Vou usar coordenadas esféricas. Primeiro, lembro as fórmulas de mudança de variável e o que cada variável representa:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho\geq 0 é a distância ao origem (raio).
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar, medido a partir do eixo z (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
  • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Explico por que isso faz sentido: se \varphi=0 estamos apontando para cima (eixo z positivo), e se \varphi=\pi/2 estamos no plano xy (onde z=0). A coordenada \rho multiplica as direções angulares para dar as coordenadas cartesianas.

Passo 3

Determinar os limites da região B em esféricas, usando as informações do Passo 1:
  • A condição 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4 vira 1\leq \rho^{2}\leq 4, portanto \rho\in[1,2].
  • A condição z\geq 0 corresponde a \rho\cos\varphi\geq 0. Como \rho\geq 0, isto implica \cos\varphi\geq 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Em torno do eixo z percorremos todo o círculo, então \theta\in[0,2\pi].
Resumo dos limites:
\rho\in[1,2],\qquad \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas. A fórmula (que vem do jacobiano da mudança de variáveis) é:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação: quando trocamos dx\,dy\,dz por d\rho\,d\varphi\,d\theta aparece um fator \rho^{2}\sin\varphi que representa como os pequenos volumes em esféricas se esticam com \rho e \varphi. Intuitivamente, \rho^{2} vem da área de uma esfera de raio \rho e \sin\varphi ajusta a variação angular em \varphi.

Passo 5

Converter o integrando z para esféricas usando z=\rho\cos\varphi. Então o integrando multiplicado pelo elemento de volume fica:
z\,dx\,dy\,dz = (\rho\cos\varphi)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta) = \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Expliquei cada fator: \rho^{3} é \rho\cdot\rho^{2}, o \cos\varphi vem de z e o \sin\varphi do jacobiano.

Passo 6

Montar a integral tripla com os limites do Passo 3:
\iiint_{B} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Podemos separar a integral em produto de três integrais porque o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes:
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{1}^{2}\rho^{3}\,d\rho\right).

Passo 7

Calcular a integral em \rho:
\int_{1}^{2}\rho^{3}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
Raciocínio: antiderivada de \rho^{3} é \rho^{4}/4.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi:
Uma forma simples é usar a substituição u=\sin\varphi ou notar que
\int \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int \sin(2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\right)+C,
mas o caminho mais direto é reconhecer que a derivada de \sin^{2}\varphi é 2\sin\varphi\cos\varphi. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \left.\frac{1}{2}\sin^{2}\varphi\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}.
Expliquei: usei que \sin(\pi/2)=1 e \sin(0)=0.

Passo 9

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
É apenas o comprimento do intervalo em \theta.
Agora juntar os resultados:
\iiint_{B} z\,dV = \left(2\pi\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{15}{4}\right).

Passo 10

Simplificar a expressão final:
2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{15}{4} = \pi\cdot\frac{15}{4} = \frac{15\pi}{4}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{15\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{15\pi}{4}

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