\varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar, medido a partir do eixo z (ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
\theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Explico por que isso faz sentido: se \varphi=0 estamos apontando para cima (eixo z positivo), e se \varphi=\pi/2 estamos no plano xy (onde z=0). A coordenada \rho multiplica as direções angulares para dar as coordenadas cartesianas.
Passo 3
Determinar os limites da região B em esféricas, usando as informações do Passo 1:
Precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas. A fórmula (que vem do jacobiano da mudança de variáveis) é:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação: quando trocamos dx\,dy\,dz por d\rho\,d\varphi\,d\theta aparece um fator \rho^{2}\sin\varphi que representa como os pequenos volumes em esféricas se esticam com \rho e \varphi. Intuitivamente, \rho^{2} vem da área de uma esfera de raio \rho e \sin\varphi ajusta a variação angular em \varphi.
Passo 5
Converter o integrando z para esféricas usando z=\rho\cos\varphi. Então o integrando multiplicado pelo elemento de volume fica: