Dada a soma de integrais \int_{-4}^{0} \int_{-x}^{4} e^{x / y} d y d x+\int_{0}^{2} \int_{2 x}^{4} e^{x / y} d y d x, inverta a ordem de integração e calcule a integral.

Passo 1

O problema pede duas coisas: (i) inverter a ordem de integração da soma
\int_{-4}^{0} \int_{-x}^{4} e^{x / y}\,dy\,dx+\int_{0}^{2} \int_{2x}^{4} e^{x / y}\,dy\,dx,
e (ii) calcular o valor final da integral. As informações dadas são as duas integrais iteradas acima, com as respectivas faixas:
\text{primeira: } x\in[-4,0],\; y\in[-x,4],
\text{segunda: } x\in[0,2],\; y\in[2x,4].
Não há outras informações externas; vamos usar apenas esses limites para descrever a região de integração e inverter a ordem.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região correspondente à primeira integral (vou chamar de R_1). A primeira integral descreve todos os pontos (x,y) tais que
-4\le x\le 0,\qquad -x\le y\le 4.
A desigualdade -x\le y é equivalente a x\ge -y. Para fixar um valor de y, as condições sobre x ficam
-4\le x\le 0,\qquad x\ge -y.
Isto significa que, para um dado y, x varia de \max(-4,-y) até 0. Observando que, na região original, y vai de 0 até 4 (quando x=0 temos y\in[0,4], e para x=-4 temos y=4), então para y\in[0,4] temos -y\in[-4,0] e assim \max(-4,-y)=-y. Portanto, podemos reescrever R_1 como
y\in[0,4],\qquad x\in[-y,0].

Passo 3

Agora a segunda região R_2 (da segunda integral):
0\le x\le 2,\qquad 2x\le y\le 4.
A condição 2x\le y é equivalente a x\le y/2. Para um valor fixo de y temos então
0\le x\le 2,\qquad x\le y/2,
ou seja x\in[0,\min(2,y/2)]. Novamente, como y varia entre 0 e 4 (quando x=0 temos y\in[0,4]; quando x=2 temos y=4), para y\in[0,4] vale y/2\le 2. Logo \min(2,y/2)=y/2 e obtemos
y\in[0,4],\qquad x\in[0,y/2].

Passo 4

Agora unimos as duas regiões R_1 e R_2. Para cada y\in[0,4] a união dos intervalos em x é
[-y,0]\cup[0,y/2]=[-y,y/2].
Logo a região total R=R_1\cup R_2 pode ser descrita por
y\in[0,4],\qquad x\in[-y,y/2].
Portanto a integral com ordem invertida será uma integral em y de 0 a 4 e, para cada y, em x de -y a y/2.

Passo 5

Escrevendo explicitamente a integral com a ordem trocada:
\int_{-4}^{0} \int_{-x}^{4} e^{x / y}\,dy\,dx+\int_{0}^{2} \int_{2x}^{4} e^{x / y}\,dy\,dx = \int_{0}^{4} \int_{-y}^{y/2} e^{x / y}\,dx\,dy.
Antes de calcular, um comentário prático: para y>0 a função x\mapsto e^{x/y} é perfeitamente razoável e integrável; o possível problema em y=0 aparece só na fronteira (linha y=0 corresponde a um conjunto de medida zero para a integral dupla), então esta troca de ordem é legítima e a integral é imprópria apenas de forma controlada.

Passo 6

Calculemos a integral interna em x. Para y fixo (e y>0), temos
\int e^{x/y}\,dx.
Lembre que a derivada de e^{x/y} em relação a x é (1/y)e^{x/y}. Portanto uma primitiva é y e^{x/y}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{x/y}\bigr)=y\cdot\frac{1}{y}e^{x/y}=e^{x/y}.
Assim
\int_{-y}^{y/2} e^{x/y}\,dx = \left. y e^{x/y}\right|_{x=-y}^{x=y/2} = y\bigl(e^{(y/2)/y}-e^{(-y)/y}\bigr) = y\bigl(e^{1/2}-e^{-1}\bigr).

Passo 7

Agora integramos em y de 0 a 4:
\int_{0}^{4} y\bigl(e^{1/2}-e^{-1}\bigr)\,dy = \bigl(e^{1/2}-e^{-1}\bigr)\int_{0}^{4} y\,dy.
Calcule \int_{0}^{4} y\,dy=\left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{4}=\dfrac{16}{2}=8. Portanto o valor da integral é
8\bigl(e^{1/2}-e^{-1}\bigr).

Resposta

\;8\bigl(e^{1/2}-e^{-1}\bigr)

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