(D) Seja R o paralelepipedo [0,1] \times[0,3] \times[0,5], calcule \iiint x^{2} y^{2} z d v Coordenadas cilindricas

Passo 1

O enunciado dá o paralelepípedo R = [0,1]\times[0,3]\times[0,5] e pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv
usando coordenadas cilíndricas. Informações relevantes: x varia em [0,1], y em [0,3], z em [0,5]. A região no plano xy é o retângulo no primeiro quadrante com vértices (0,0),(1,0),(1,3),(0,3). O objetivo é transformar a integral para coordenadas cilíndricas, montar os limites apropriados e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Lembrete das fórmulas de coordenadas cilíndricas e do Jacobiano (isso é essencial):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
e o elemento de volume em cilíndricas é
dv = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, e z permanece igual. O fator r aparece porque áreas em coordenadas polares têm esse fator (é o Jacobiano da transformação).

Passo 3

Escrevo o integrando em cilíndricas. Substituindo x e y:
x^{2}y^{2}z = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}z = r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,z.
Multiplicando pelo Jacobiano r temos o integrando completo:
x^{2}y^{2}z\,dv = r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,z \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = r^{5}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,z\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Agora traduzimos os limites da região R para cilíndricas. Como x\ge0 e y\ge0 no retângulo dado, o ângulo varia entre
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
Para cada direção \theta fixa, r vai do centro até a fronteira do retângulo, isto é, até a menor das duas interseções com as retas x=1 e y=3. Em termos de r:
x = r\cos\theta = 1 \implies r = \frac{1}{\cos\theta},
y = r\sin\theta = 3 \implies r = \frac{3}{\sin\theta}.
Portanto, para cada \theta temos
0\le r \le \min\!\Big(\frac{1}{\cos\theta},\frac{3}{\sin\theta}\Big).
O ponto onde as duas curvas se encontram (limites iguais) satisfaz
\frac{1}{\cos\theta} = \frac{3}{\sin\theta} \implies \tan\theta = 3.
Defina \theta_{0} = \arctan 3 (observe que 0<\theta_{0}<\tfrac{\pi}{2}). Assim dividimos a integral em dois pedaços:
  • Para 0\le\theta\le\theta_{0}: r_{\max}=\dfrac{1}{\cos\theta} (porque \dfrac{1}{\cos\theta}\le\dfrac{3}{\sin\theta}).
  • Para \theta_{0}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}: r_{\max}=\dfrac{3}{\sin\theta}.

Passo 5

Monte a integral com integração em ordem z,r,\theta. Como z varia independente dos outros em [0,5], integro em z primeiro:
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{r_{\max}(\theta)}\int_{0}^{5} r^{5}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,z\,dz\,dr\,d\theta.
A integral em z é simples:
\int_{0}^{5} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{5} = \frac{25}{2}.
Portanto
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv = \frac{25}{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{r_{\max}(\theta)} r^{5}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Faço a integral em r. Temos
\int_{0}^{r_{\max}} r^{5}\,dr = \left.\frac{r^{6}}{6}\right|_{0}^{r_{\max}} = \frac{r_{\max}^{6}}{6}.
Então
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv = \frac{25}{2}\cdot\frac{1}{6}\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,r_{\max}(\theta)^{6}\,d\theta = \frac{25}{12}\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,r_{\max}(\theta)^{6}\,d\theta.
Usando a divisão em dois intervalos de \theta descrita no Passo 4:
r_{\max}(\theta)^{6}= \begin{cases} \dfrac{1}{\cos^{6}\theta}, & 0\le\theta\le\theta_{0},\\[6pt] \dfrac{3^{6}}{\sin^{6}\theta}=\dfrac{729}{\sin^{6}\theta}, & \theta_{0}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}. \end{cases}
Substituindo:
\frac{25}{12}\left(\int_{0}^{\theta_{0}} \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{4}\theta}\,d\theta \;+\; 729\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta}\,d\theta\right).]

Passo 7

Avalio a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{\theta_{0}} \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{4}\theta}\,d\theta.
Reescrevo \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{4}\theta} = \tan^{2}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta. Faço a substituição u=\tan\theta, então du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Quando \theta=0 temos u=0; quando \theta=\theta_{0} temos u=\tan\theta_{0}=3. Assim
I_{1} = \int_{0}^{3} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9.

Passo 8

Avalio a segunda integral
I_{2}=\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta}\,d\theta.
Reescrevo \dfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} = \cot^{2}\theta\,\csc^{2}\theta. Faço a substituição v=\cot\theta, então dv = -\csc^{2}\theta\,d\theta. Para os limites: quando \theta=\theta_{0} temos v=\cot\theta_{0}=\dfrac{1}{\tan\theta_{0}}=\dfrac{1}{3}; quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos v=0. Assim
I_{2} = \int_{v(\theta_{0})}^{0} v^{2}(-dv) = \int_{1/3}^{0} -v^{2}dv = \int_{0}^{1/3} v^{2}dv = \left.\frac{v^{3}}{3}\right|_{0}^{1/3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{27} = \frac{1}{81}.
Multiplicando pelo fator 729 da expressão anterior, obtemos 729 I_{2} = 729\cdot\frac{1}{81} = 9.

Passo 9

Somando os dois resultados das integrais angulares:
\int_{0}^{\theta_{0}} \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{4}\theta}\,d\theta + 729\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta}\,d\theta = 9 + 9 = 18.
Agora multiplico pelo fator \dfrac{25}{12}:
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv = \frac{25}{12}\cdot 18 = \frac{25\cdot 18}{12} = \frac{25\cdot 3}{2} = \frac{75}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{75}{2}

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