(D) Seja R o paralelepipedo [0,1] \times[0,3] \times[0,5], calcule \iiint x^{2} y^{2} z d v Coordenadas cilindricas
Passo 1
O enunciado dá o paralelepípedo R = [0,1]\times[0,3]\times[0,5] e pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} x^{2}y^{2}z\,dv
usando coordenadas cilíndricas. Informações relevantes: x varia em [0,1], y em [0,3], z em [0,5]. A região no plano xy é o retângulo no primeiro quadrante com vértices (0,0),(1,0),(1,3),(0,3). O objetivo é transformar a integral para coordenadas cilíndricas, montar os limites apropriados e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Lembrete das fórmulas de coordenadas cilíndricas e do Jacobiano (isso é essencial):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
e o elemento de volume em cilíndricas é
dv = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, e z permanece igual. O fator r aparece porque áreas em coordenadas polares têm esse fator (é o Jacobiano da transformação).
Passo 3
Escrevo o integrando em cilíndricas. Substituindo x e y:
Agora traduzimos os limites da região R para cilíndricas. Como x\ge0 e y\ge0 no retângulo dado, o ângulo varia entre
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
Para cada direção \theta fixa, r vai do centro até a fronteira do retângulo, isto é, até a menor das duas interseções com as retas x=1 e y=3. Em termos de r:
x = r\cos\theta = 1 \implies r = \frac{1}{\cos\theta},
y = r\sin\theta = 3 \implies r = \frac{3}{\sin\theta}.
Portanto, para cada \theta temos
0\le r \le \min\!\Big(\frac{1}{\cos\theta},\frac{3}{\sin\theta}\Big).
O ponto onde as duas curvas se encontram (limites iguais) satisfaz
Reescrevo \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{4}\theta} = \tan^{2}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta. Faço a substituição u=\tan\theta, então du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Quando \theta=0 temos u=0; quando \theta=\theta_{0} temos u=\tan\theta_{0}=3. Assim
Reescrevo \dfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} = \cot^{2}\theta\,\csc^{2}\theta. Faço a substituição v=\cot\theta, então dv = -\csc^{2}\theta\,d\theta. Para os limites: quando \theta=\theta_{0} temos v=\cot\theta_{0}=\dfrac{1}{\tan\theta_{0}}=\dfrac{1}{3}; quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos v=0. Assim