Calcule o volume dos sólidos abaixo.
Sólido limitado pelo cilindro , e pelos cones .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por um cilindro dado por e por dois cones, e , onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização:
Completando o quadrado para o termo :
Isso mostra que o cilindro tem raio e está centrado em no plano .
Passo 3
Agora, vamos analisar os cones e . Esses são cones circulares de vértice na origem, com aberturas determinadas pelas constantes e . Como , o cone com é mais inclinado que o com .
Passo 4
Para encontrar o volume entre os dois cones dentro do cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, o cilindro x^2 + y^2 = y se transforma em:
r^2 = r sin theta Rightarrow r = sin theta
Passo 5
Os limites para r serão de 0 a sin theta, e para theta de 0 a pi, já que o cilindro está centrado em y = 12. Para z, ele varia entre os dois cones:
b r <= z <= a r
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para o volume V:
V = integral0^pi integral0^sin theta integralb r^a r r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo extra r vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralb r^a r r , dz = r [ z ]b r^a r = r (a r - b r) = r^2(a - b)
Então, a integral fica:
V = (a - b) integral0^pi integral0^sin theta r^2 , dr , dtheta