Calcule o volume dos sólidos abaixo.
Sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=y, e pelos cones z=a raizx^2+y^2 e z=b raizx^2+y^2, a>b>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por um cilindro dado por x^2 + y^2 = y e por dois cones, z = a raizx^2 + y^2 e z = b raizx^2 + y^2, onde a > b > 0. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro x^2 + y^2 = y. Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização:
x^2 + y^2 - y = 0
Completando o quadrado para o termo y:
x^2 + (y - 12)^2 = (12)^2
Isso mostra que o cilindro tem raio 12 e está centrado em y = 12 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos analisar os cones z = a raizx^2 + y^2 e z = b raizx^2 + y^2. Esses são cones circulares de vértice na origem, com aberturas determinadas pelas constantes a e b. Como a > b, o cone com a é mais inclinado que o com b.

Passo 4

Para encontrar o volume entre os dois cones dentro do cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
Nessas coordenadas, o cilindro x^2 + y^2 = y se transforma em:
r^2 = r sin theta Rightarrow r = sin theta

Passo 5

Os limites para r serão de 0 a sin theta, e para theta de 0 a pi, já que o cilindro está centrado em y = 12. Para z, ele varia entre os dois cones:
b r <= z <= a r

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para o volume V:
V = integral0^pi integral0^sin theta integralb r^a r r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo extra r vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralb r^a r r , dz = r [ z ]b r^a r = r (a r - b r) = r^2(a - b)
Então, a integral fica:
V = (a - b) integral0^pi integral0^sin theta r^2 , dr , dtheta

Passo 8

Integrando em relação a r:
integral0^sin theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^sin theta = (sin theta)^33
Portanto, a integral agora é:
V = a - b3 integral0^pi (sin theta)^3 , dtheta

Passo 9

Sabemos que:
integral (sin theta)^3 , dtheta = 43
Portanto:
V = a - b3 cdot 43 = 4(a - b)9

Resposta

O volume do sólido é V = 4(a - b)9 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados