Veja o exemplo abaixo: Encontrar interios
e
tais que
. Solução:
dividindo por 3 é equivalente a
,
Teremos que resolver o problema na equação
, para isso utilizaremos o algoritimo de euclides de divisão:
note que:
(4 é o resto da divisão de 31 por 27)
( 3 é o resto da divisão de 27 por 4)
(1 é o resto da divisão de 4 por 3 )
Daí,
ou seja,
Logo uma solução inteira seriam
e
Utilize a mesma ideia para encontrar inteiros
e
que satisfaçam as equações:
a)
Teremos que resolver o problema na equação
note que:
Daí,
Utilize a mesma ideia para encontrar inteiros
a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar inteiros
e
tais que
. O conteúdo principal aqui é a resolução de uma equação diofantina linear usando o algoritmo de Euclides estendido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o máximo divisor comum entre 423 e 198 pelo algoritmo de Euclides:
Como o último resto não nulo é 9, temos
Passo 3
Como queremos
, e o
é 9, confirmamos que há solução (pois 9 divide 9). Dividimos toda a equação por 9 para simplificar:
Ou seja,
Passo 4
Agora aplicamos o algoritmo de Euclides estendido a
e
para escrever 1 como combinação linear:
Retrocedendo para expressar 1:
Mas
, então
Passo 5
Portanto encontramos que
. Isso significa que
é solução da equação simplificada e, consequentemente, da equação original.
Resposta
x = -7, y = 15