Veja o exemplo abaixo: Encontrar interios x e y tais que 93 x+81 y=3. Solução:
93 x+81 y=3 dividindo por 3 é equivalente a 31 x+27 y=1,
Teremos que resolver o problema na equação 31 x+27 y=1, para isso utilizaremos o algoritimo de euclides de divisão:
note que:
31=27 * 1+4 Rightarrow 4=31-27 (4 é o resto da divisão de 31 por 27)
27=4 * 6+3 Rightarrow 3=27-4 * 6 ( 3 é o resto da divisão de 27 por 4)
4=3 * 1+1 Rightarrow 1=4-3 (1 é o resto da divisão de 4 por 3 )
Daí, 1=4-3
=(31 & -27)-(27-4 * 6 & =31-27-27+(31-27) * 6 & =31-27-27+31 * 6-27 * 6 & =7 * 31-8 * 27
ou seja,
37 * 7+27 *(-8)=1
Logo uma solução inteira seriam x=7 e y=-8
Utilize a mesma ideia para encontrar inteiros x e y que satisfaçam as equações:
a) 423 x+198 y=9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar inteiros x e y tais que 423x + 198y = 9. O conteúdo principal aqui é a resolução de uma equação diofantina linear usando o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o máximo divisor comum entre 423 e 198 pelo algoritmo de Euclides:
423 = 198 times 2 + 27
198 = 27 times 7 + 9
27 = 9 times 3 + 0
Como o último resto não nulo é 9, temos gcd(423,198)=9.

Passo 3

Como queremos 423x + 198y = 9, e o gcd é 9, confirmamos que há solução (pois 9 divide 9). Dividimos toda a equação por 9 para simplificar:
4239x + 1989y = 99
Ou seja,
47x + 22y = 1

Passo 4

Agora aplicamos o algoritmo de Euclides estendido a 47 e 22 para escrever 1 como combinação linear:
47 = 22 times 2 + 3
22 = 3 times 7 + 1
3 = 1 times 3 + 0
Retrocedendo para expressar 1:
1 = 22 - 3 times 7
Mas 3 = 47 - 22 times 2, então
1 = 22 - (47 - 22 times 2) times 7 = 22 - 47times7 + 22times14 = 22times15 - 47times7

Passo 5

Portanto encontramos que 1 = (-7) times 47 + 15 times 22. Isso significa que (x,y)=(-7,15) é solução da equação simplificada e, consequentemente, da equação original.

Resposta

x = -7, y = 15

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