Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número b por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número 3 b+5.
Solução: Temos que b=5 a+3. Queremos saber o resto da divisão de 3 b+5, por 5 isto é
3 b+5=5 c+r, onde r=0,1,2,3 ou 4 de b=5 a+3 Rightarrow 3 b=15 a+9
e de r=3 b+5-5 c Rightarrow r=15 a+9+5(1-c) Rightarrow r=5(3 a+1-c)+9 Rightarrow r-9=5(3 a+1-c)
Logo, 5 mid r-9. Substituindo os possíveis valores de r teremos:
ll r=0 & 5 nmid-9 r=1 & 5 nmid 1-9=-8 r=2 & 5 nmid 2-9=-7 r=3 & 5 nmid 3-9=-6 r=4 & 5 mid 4-9=-5
Portanto, o único valor que satisfaz é r=4, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 , calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
a) -b

Passo 1

O enunciado diz que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 e nos pede o resto da divisão por 6 de -b. O conteúdo aqui é divisão euclidiana (ou congruências módulo 6) e vamos precisar usar a definição de quociente e resto.

Passo 2

Pela divisão euclidiana de b por 6, existe um inteiro a tal que b = 6a + 5. Isso vem direto da definição de resto: em qualquer divisão por 6 temos b = 6·(quociente) + (resto), e aqui o resto é 5, logo
b = 6a + 5

Passo 3

Queremos agora expressar -b também na forma de divisão euclidiana por 6, ou seja, encontrar inteiros c e r tais que 0 ≤ r < 6 e
-b = 6c + r
Substituindo b = 6a + 5, obtemos
-b = -(6a + 5) = -6a - 5

Passo 4

Para identificar c e r, escrevemos
-6a - 5 = 6(-a - 1) + 1,
pois 6(-a - 1) = -6a - 6 e somando 1 chegamos em -6a - 5. Assim, c = -a - 1 e r = 1. Como 0 ≤ 1 < 6, confirmação de que r = 1 é válido.

Resposta

1

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