Seja Q o retângulo definido por [1,3] times[1,2] e seja o paraboloide descrito por f(x, y)= 1+x^2+y^2.
(a) Seja P^prime uma partição com apenas um sub-retângulo, ou seja, que não divide o retângulo original Q. Calcule a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior de f aproximando a função pelo máximo global e mínimo global respectivamente.
(b) Seja P^prime prime uma partição que divide cada intervalo em 2 subintervalos, ou seja, que divide o retângulo Q em 4 subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos 4 sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de f(x, y) sobre a partição P^prime. Verifique que I(f, P^prime prime)>I(f, P^prime) e que S(f, P^prime prime)<S(f, P^prime)
(c) Seja P uma partição que divide o intervalo [1,3] em n subintervalos e o intervalo [1,2] em m subintervalos, ou seja, que divide o retângulo Q em n cdot m subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos n cdot m sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de f(x, y) sobre a partição P. Verifique que I(f, P)<S(f, P)
(d) Verifique que
lim n infty lim m infty(S(f, P)-I(f, P))=0
e calcule
integral duplaQ f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular somas de Riemann superior e inferior da função
f(x,y)=1+x^2+y^2
no retângulo Q=[1,3]times[1,2], usando diferentes partições, e em seguida avaliar o limite da diferença entre essas somas e obter a integral dupla de f em Q. O conteúdo envolve definição de máximo e mínimo em cada sub-retângulo, somas de Riemann e cálculo de integral dupla por integração iterada.

Passo 2

Para (a), a partição P' não divide Q, ou seja, há um único sub-retângulo cujo área é
De<a A=(3-1)(2-1)=2
Como f cresce em x e em y, o mínimo em Q ocorre em (1,1) com
f(1,1)=1+1^2+1^2=3,
e o máximo em (3,2) com
f(3,2)=1+3^2+2^2=14
Logo
I(f,P')=De<a AcdotinfQ f=2cdot3=6, S(f,P')=De<a AcdotsupQ f=2cdot14=28

Passo 3

Para (b), a partição P'' divide [1,3] em 1,2,3 e [1,2] em 1,1,5,2, formando quatro sub-retângulos de dimensões
De<a x=1, De<a y=0,5, De<a A=De<a x,De<a y=0,5
Em cada sub-retângulo o mínimo ocorre no vértice (xi-1,yj-1) e o máximo em (xi,yj). Calculando:
I(f,P'') =0,5l[f(1,1)+f(1,1,5)+f(2,1)+f(2,1,5)r] =0,5(3+4,25+6+7,25)=10,25,
S(f,P'') =0,5l[f(2,1,5)+f(2,2)+f(3,1,5)+f(3,2)r] =0,5(7,25+9+12,25+14)=21,25
Assim verifica-se que
I(f,P')=6<10,25=I(f,P''), S(f,P')=28>21,25=S(f,P'')

Passo 4

Para (c), dividimos [1,3] em n subintervalos de tamanho De<a x=(3-1)/n e [1,2] em m subintervalos de tamanho De<a y=(2-1)/m. Os nós são
xi=1+i,De<a x,;i=0,dots,n, yj=1+j,De<a y,;j=0,dots,m
Cada sub-retângulo Rij tem área De<a A=De<a x,De<a y. O mínimo em Rij é
,f(xi-1,yj-1)
e o máximo é
,f(xi,yj). Portanto
I(f,P) =De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^ml[1+xi-1^2+yj-1^2r],
S(f,P) =De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^ml[1+xi^2+yj^2r]
Como sempre xi-1<xi e yj-1<yj, fica claro que
I(f,P)<S(f,P)

Passo 5

Para (d), avaliaremos a diferença
S(f,P)-I(f,P) =De<a x,De<a yl(msumi=1^n(xi^2-xi-1^2)+nsumj=1^m(yj^2-yj-1^2)r)
Como
sumi=1^n(xi^2-xi-1^2)=3^2-1^2=8
e
sumj=1^m(yj^2-yj-1^2)=2^2-1^2=3,
S(f,P)-I(f,P) =2n,1m,(8m+3n) =16n+6m ;xrightarrow[n,mtoinfty];0
Para calcular a integral dupla, integramos iteradamente:
integral duplaQ f(x,y),dx,dy =integral1^3integral1^2(1+x^2+y^2),dy,dx =integral1^3l[y+x^2y+tfracy^33r]1^2dx =integral1^3l(x^2+tfrac103r)dx =l[tfracx^33+tfrac10x3r]1^3 =tfrac463

Resposta

(a) I(f,P')=6, S(f,P')=28.
(b) I(f,P'')=10,25, S(f,P'')=21,25, e verifica-se I(f,P')<I(f,P''), S(f,P')>S(f,P'').
(c) I(f,P)=De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^m[1+xi-1^2+yj-1^2],
S(f,P)=De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^m[1+xi^2+yj^2], com I(f,P)<S(f,P).
(d) limn,mtoinfty(S(f,P)-I(f,P))=0 e integral duplaQf(x,y),dx,dy=tfrac463

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