Seja o retângulo definido por e seja o paraboloide descrito por .
(a) Seja uma partição com apenas um sub-retângulo, ou seja, que não divide o retângulo original Q. Calcule a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior de aproximando a função pelo máximo global e mínimo global respectivamente.
(b) Seja uma partição que divide cada intervalo em 2 subintervalos, ou seja, que divide o retângulo em 4 subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos 4 sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de sobre a partição . Verifique que e que
(c) Seja uma partição que divide o intervalo em subintervalos e o intervalo subintervalos, ou seja, que divide o retângulo em subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de sobre a partição . Verifique que
(d) Verifique que
e calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular somas de Riemann superior e inferior da função
no retângulo , usando diferentes partições, e em seguida avaliar o limite da diferença entre essas somas e obter a integral dupla de em . O conteúdo envolve definição de máximo e mínimo em cada sub-retângulo, somas de Riemann e cálculo de integral dupla por integração iterada.
Passo 2
Para (a), a partição não divide , ou seja, há um único sub-retângulo cujo área é
Como cresce em e em , o mínimo em ocorre em com
e o máximo em com
Logo
Passo 3
Para (b), a partição divide em e em , formando quatro sub-retângulos de dimensões
Em cada sub-retângulo o mínimo ocorre no vértice e o máximo em . Calculando:
Assim verifica-se que
Passo 4
Para (c), dividimos em subintervalos de tamanho e em subintervalos de tamanho . Os nós são
Cada sub-retângulo tem área . O mínimo em é
e o máximo é . Portanto
Como sempre e , fica claro que
Passo 5
Para (d), avaliaremos a diferença
Como
e ,
Para calcular a integral dupla, integramos iteradamente:
integral duplaQ f(x,y),dx,dy =integral1^3integral1^2(1+x^2+y^2),dy,dx =integral1^3l[y+x^2y+tfracy^33r]1^2dx =integral1^3l(x^2+tfrac103r)dx =l[tfracx^33+tfrac10x3r]1^3 =tfrac463
Resposta
(a) I(f,P')=6, S(f,P')=28.
(b) I(f,P'')=10,25, S(f,P'')=21,25, e verifica-se I(f,P')<I(f,P''), S(f,P')>S(f,P'').
(c) I(f,P)=De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^m[1+xi-1^2+yj-1^2], S(f,P)=De<a x,De<a ysumi=1^nsumj=1^m[1+xi^2+yj^2], com I(f,P)<S(f,P).
(d) limn,mtoinfty(S(f,P)-I(f,P))=0 e integral duplaQf(x,y),dx,dy=tfrac463