Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.
W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= a^2 e z^2 <= x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
W=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<= a^2 e z^2<= x^2+y^2.
O conteúdo é cálculo de volume por coordenadas esféricas, já que temos uma bola de raio a e uma condição angular z^2<= x^2+y^2. Vamos parametrizar em esféricas e achar os limites adequados.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi].
A bola vem de rho<= a.
A condição z^2<= x^2+y^2 vira
rho^2cos^2phi ;<=;rho^2sin^2phi Longrightarrow cos^2phi<=sin^2phi Longrightarrow tan^2phi>=1 Longrightarrow phiinl[tfracpi4,tfrac3pi4r]

Passo 3

O elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.
Logo o volume é
V =integraltheta=0^2pi!integralphi=pi/4^3pi/4!integralrho=0^a rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^arho^2,drho =a^33
Em seguida em theta:
integral0^2pidtheta =2pi
E sobra a integral em phi:
integralpi/4^3pi/4sinphi,dphi =l[-cosphir]pi/4^3pi/4 =-cos!l(tfrac3pi4r)+cos!l(tfracpi4r) =-l(-tfracraiz22r)+tfracraiz22 =raiz2
Multiplicando tudo:
V =2pi;a^33;raiz2 =2raiz2pi,a^33

Resposta

V=2raiz2pi,a^33

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