Calcule o volume dos sólidos limitados pelas superfícies de equações dadas
x=y^2, z=0, x+z=1

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies x = y², z = 0 e x + z = 1. Vamos trabalhar com integrais triplas em coordenadas cartesianas projetando o sólido no plano xy e usar a fórmula do volume V = integral triplaV dV.

Passo 2

Primeiro identificamos a projeção D do sólido no plano xy. Das superfícies temos z entre 0 e 1 - x, e x deve satisfazer x ≥ y² e z ≥ 0 implica x ≤ 1. Assim y² ≤ x ≤ 1. Como y² ≤ 1, temos y ∈ [-1,1].

Passo 3

Montamos a integral do volume separando a integração em z, x e y:
V = integraly=-1^1 integralx=y^2^1 integralz=0^1-x dz,dx,dy
Integramos primeiro em z:
integralz=0^1-x dz = 1 - x

Passo 4

Agora integramos em x e depois em y. Em x:
integralx=y^2^1 (1 - x) dx = l[x - tfracx^22r]y^2^1 = tfrac12 - y^2 + tfracy^42
Em y:
V = integral-1^1 l(tfrac12 - y^2 + tfracy^42r) dy = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815

Resposta

815

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