Calcule o volume dos sólidos limitados pelas superfícies de equações dadas
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies x = y², z = 0 e x + z = 1. Vamos trabalhar com integrais triplas em coordenadas cartesianas projetando o sólido no plano xy e usar a fórmula do volume V =
.
Passo 2
Primeiro identificamos a projeção D do sólido no plano xy. Das superfícies temos z entre 0 e 1 - x, e x deve satisfazer x ≥ y² e z ≥ 0 implica x ≤ 1. Assim y² ≤ x ≤ 1. Como y² ≤ 1, temos y ∈ [-1,1].
Passo 3
Montamos a integral do volume separando a integração em z, x e y:
Integramos primeiro em z:
Passo 4
Agora integramos em x e depois em y. Em x:
Em y: