Use a integral dupla para calcular a área limitada pelas seguintes curvas:
y^2=-x e 3 y-x=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região D limitada pela parábola y^2=-x e pela reta 3y - x =4, usando integral dupla. Vamos precisar montar a integral de 1 sobre D e usar Fubini para reduzir a área a uma integral simples.

Passo 2

Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas resolvendo y^2=-x com 3y - x=4. Substituindo x=3y-4 em y^2=-x temos:
y^2 = -(3y-4) implies y^2 +3y -4 =0
As raízes são y=1 e y=-4, então a região varia em y de -4 a 1.

Passo 3

Em cada valor de y entre -4 e 1, a abscissa da parábola é xP=-y^2 e a da reta é xR=3y-4. Para ver qual é a fronteira à esquerda/à direita, basta comparar: por exemplo em y=0 vemos xP=0> xR=-4. Logo o lado esquerdo é a reta e o direito é a parábola.

Passo 4

A área de D é dada por
A=integral duplaD 1,dA=integraly=-4^1integralx=xR^x=xP1,dx,dy=integral-4^1l[xr]x=3y-4^x=-y^2dy=integral-4^1l(-y^2-(3y-4)r)dy

Passo 5

Agora basta integrar termo a termo:
A=integral-4^1(-y^2-3y+4),dy = l[-tfracy^33-tfrac3y^22+4yr]-4^1 = 1256

Resposta

1256

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