Calcule as seguintes integrais:
integral duplaD d x d y2-x^2-y^2, onde D=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

A integral dada é integral duplaDdx,dy2 - x^2 - y^2, onde D é o disco x^2+y^2<=1. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e o jacobiano correspondente.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy=r,dr,dtheta. Como x^2+y^2=r^2 e rin[0,1], thetain[0,2pi], reescrevemos a integral assim:
integral duplaDdx,dy2 - x^2 - y^2 = integral0^2piintegral0^1r2 - r^2,dr,dtheta

Passo 3

Para calcular a parte radial, fazemos a substituição u = 2 - r^2, de onde du = -2r,dr e r,dr = -tfrac12du. Quando r=0 temos u=2 e quando r=1 temos u=1. Assim,
integral0^1r2 - r^2,dr = integral2^1 -tfrac12duu = 12ln 2

Passo 4

A integral em theta é direta:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando os resultados das integrais radial e angular, obtemos
integral duplaDdx,dy2 - x^2 - y^2 = 2pi cdot 12ln 2 = pi ln 2

Resposta

pi ln 2

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