Calcule os volumes dos sólidos de revolução obtidos por girar em torno das retas dadas abaixo,as seguintes regiões:
em torno do eixo x ,a região delimitada pela função x=y^{2} e pelas retas x=0 e y=\sqrt{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Região limitada por x=y^{2}, pela reta x=0 e pela reta y=\sqrt{2}.
  • A rotação é em torno do eixo x.
  • Precisamos calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Informações extras que ficam claras ao analisar as curvas:
  • A interseção entre x=0 e x=y^{2} ocorre em y=0. Portanto a região considerada está entre y=0 e y=\sqrt{2}.
  • Para cada y em [0,\sqrt{2}], x varia de 0 até y^{2}. Assim a região está no primeiro quadrante, com 0\le y\le\sqrt{2} e 0\le x\le y^{2}.

Passo 2

Escolha do método e explicação da fórmula (aulas rapidinhas sobre o método das cascas cilíndricas):
Vou usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) porque a região está naturalmente descrita com x em função de y e a rotação é em torno do eixo x. Isso torna a aplicação direta e simples.
Ideia do método das cascas cilíndricas:
  • Tomamos uma faixa horizontal infinitesimal na região, de altura (espessura) dy, localizada à distância y do eixo x.
  • Ao girar essa faixa em torno do eixo x forma-se uma casca cilíndrica de raio y, altura igual à extensão horizontal da região naquela altura (ou seja, diferença entre as curvas x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}), e espessura dy.
  • O volume dessa casca (aproximação) é área lateral do cilindro vezes espessura:
dV = (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\;dy.ê
Onde:
  • \text{raio}=y (distância do elemento ao eixo x),
  • \text{altura}=x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} = y^{2}-0 = y^{2}.

Passo 3

Montagem da integral pelo método das cascas e cálculo (passo a passo de contas):
A expressão diferencial de volume é
dV = 2\pi \cdot y \cdot (y^{2})\,dy = 2\pi\,y^{3}\,dy.
Integrando para y variando de 0 até \sqrt{2}:
V=\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\pi\,y^{3}\,dy.
Calcule a integral:
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4},
portanto
V=2\pi\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}}.
Avalia-se o termo superior: (\sqrt{2})^{4}=((\sqrt{2})^{2})^{2}=2^{2}=4. Assim
\left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{\sqrt{2}}=\frac{4}{4}-0=1.
Logo a integral dá 2\pi\cdot 1.

Passo 4

Verificação por outro método (método dos discos/anos) — aula rápida sobre discos:
Podemos conferir usando o método dos discos (washers), integrando em x. Para isso expressamos y como função de x: da curva x=y^{2} tem-se y=\sqrt{x}. A região, para cada x entre 0 e 2 (porque no máximo x=(\sqrt{2})^{2}=2), tem y entre 0 e \sqrt{x}. Ao girar em torno do eixo x formam-se discos de raio R=\sqrt{x} e espessura dx. A área de cada secção é \pi R^{2}=\pi x. Então
V=\int_{0}^{2} \pi x\,dx = \pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \pi\cdot\frac{4}{2}=\pi\cdot 2.
Resultado coincide com o obtido antes.

Passo 5

Resumo didático e incentivo
  • Usando cascas: integramos com respeito a y, formando cascas de raio y e altura y^{2}.
  • Usando discos: integramos com respeito a x, formando discos de raio \sqrt{x}.
  • Ambas as abordagens são básicas e úteis: escolha a que deixa as expressões mais simples dependendo de como a região é dada.
  • Você conseguiu! Repetir esse tipo de exercício algumas vezes ajuda a ganhar intuição sobre quando usar cascas ou discos.

Resposta

2\pi

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