Calcule os volumes dos sólidos de revolução obtidos por girar em torno das retas dadas abaixo,as seguintes regiões:
em torno do eixo x ,a região delimitada pela função x=y^{2} e pelas retas x=0 e y=\sqrt{2} .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
Região limitada por x=y^{2}, pela reta x=0 e pela reta y=\sqrt{2}.
A rotação é em torno do eixo x.
Precisamos calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Informações extras que ficam claras ao analisar as curvas:
A interseção entre x=0 e x=y^{2} ocorre em y=0. Portanto a região considerada está entre y=0 e y=\sqrt{2}.
Para cada y em [0,\sqrt{2}], x varia de 0 até y^{2}. Assim a região está no primeiro quadrante, com 0\le y\le\sqrt{2} e 0\le x\le y^{2}.
Passo 2
Escolha do método e explicação da fórmula (aulas rapidinhas sobre o método das cascas cilíndricas):
Vou usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) porque a região está naturalmente descrita com x em função de y e a rotação é em torno do eixo x. Isso torna a aplicação direta e simples.
Ideia do método das cascas cilíndricas:
Tomamos uma faixa horizontal infinitesimal na região, de altura (espessura) dy, localizada à distância y do eixo x.
Ao girar essa faixa em torno do eixo x forma-se uma casca cilíndrica de raio y, altura igual à extensão horizontal da região naquela altura (ou seja, diferença entre as curvas x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}), e espessura dy.
O volume dessa casca (aproximação) é área lateral do cilindro vezes espessura:
dV = (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\;dy.
Verificação por outro método (método dos discos/anos) — aula rápida sobre discos:
Podemos conferir usando o método dos discos (washers), integrando em x. Para isso expressamos y como função de x: da curva x=y^{2} tem-se y=\sqrt{x}. A região, para cada x entre 0 e 2 (porque no máximo x=(\sqrt{2})^{2}=2), tem y entre 0 e \sqrt{x}. Ao girar em torno do eixo x formam-se discos de raio R=\sqrt{x} e espessura dx. A área de cada secção é \pi R^{2}=\pi x. Então