(8 pontos) Considere a função
f(t)= \begin{cases}-\frac{3}{2} t, & 0 \leqslant t<5 \\\ \frac{3}{2} t-15, & 5 \leqslant t<10 \\\\ 0, & t \geqslant 10\end{cases}
Determine a Transformada de Laplace de f.
\begin{aligned} & f(t)=-\frac{3}{2} t+\frac{3}{2} t u_{5}(t)+\frac{3}{2} t u_{5}(t)-15 u_{5}(t)-\frac{3}{2} t u_{10}(t)+15 u_{10}(t) \\\ & f(t)=-\frac{3}{2} t+3(t-5+5) u_{5}(t)-15 u_{5}(t)-\frac{3}{2}(t-10+10) u_{10}(t)+15 u_{10}(t) \\\ & f(t)=-\frac{3}{2} t+3(t-5) u_{5}(t)+15 u_{5}(t)-15 u_{5}(t)-\frac{3}{2}(t-10) u_{10}(t)-15 u_{10}(t)+15 u_{10}(t) \\\ & F(s)=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{s^{2}}+3 e^{-5 t} \cdot \frac{1}{s^{2}}-\frac{3}{2} e^{-10 t} \cdot \frac{1}{s^{2}} \\\ & F(s)=\frac{3}{s^{2}}\left[-\frac{1}{2}+e^{-5 t}-\frac{1}{2} e^{-10 t}\right] \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é fornecido:
  • Pede: determinar a Transformada de Laplace de f(t)\), ou seja, encontrar \(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\). - A função dada é (copiando do enunciado): \[f(t)= \begin{cases}-\dfrac{3}{2}\,t, & 0 \leqslant t<5 \\[4pt] \dfrac{3}{2}\,t-15, & 5 \leqslant t<10 \\[4pt] 0, & t \geqslant 10\end{cases}
  • Informações úteis que temos: valores de f(t)\] em cada intervalo \([0,5),[5,10),[10,\infty).]

Passo 2

Reescrever f(t) usando funções degrau unitário u_a(t) para poder aplicar a propriedade de deslocamento. Lembrete: u_a(t)=0 para t<a e u_a(t)=1 para t\ge a.
Estratégia prática: tomar uma função base igual ao valor em [0,5), e acrescentar as “mudanças” nos instantes t=5 e t=10. Definindo
f_0(t)=-\dfrac{3}{2}t,\qquad f_1(t)=\dfrac{3}{2}t-15,\qquad f_2(t)=0,
então, para t\ge 0,
f(t)=f_0(t)+\bigl(f_1(t)-f_0(t)\bigr)u_5(t)+\bigl(f_2(t)-f_1(t)\bigr)u_{10}(t).

Passo 3

Calcular as diferenças que aparecem nos degraus (mostrando os passos algébricos):
  • Primeiro salto (em t=5):
f_1(t)-f_0(t)=\left(\dfrac{3}{2}t-15\right)-\left(-\dfrac{3}{2}t\right)=3t-15=3(t-5).
  • Segundo salto (em t=10):
f_2(t)-f_1(t)=0-\left(\dfrac{3}{2}t-15\right)=-\dfrac{3}{2}t+15=-\dfrac{3}{2}(t-10).
(Observe como as constantes se cancelam convenientemente.)
Portanto a expressão de f(t) em termos de degraus fica:
f(t)=-\dfrac{3}{2}t+3\bigl(t-5\bigr)u_5(t)-\dfrac{3}{2}\bigl(t-10\bigr)u_{10}(t).

Passo 4

Lembrando as propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}.
  • Transformada básica: \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.
  • Teorema do deslocamento (segunda fórmula de deslocamento): se g(t) é uma função com transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u_a(t)\,g(t-a)\}=e^{-a s}\,G(s).
Isto significa que, quando a função aparece na forma (t-a)u_a(t), sua transformada é e^{-a s} vezes a transformada de t (no caso 1/s^2).

Passo 5

Aplicar a transformada termo a termo à expressão obtida em \#Passo 3:
  1. Para o termo -\dfrac{3}{2}t:
\mathcal{L}\left\{-\dfrac{3}{2}t\right\}=-\dfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}}.
  1. Para o termo 3(t-5)u_5(t): usar o deslocamento com g(\tau)=\tau cuja transformada é 1/s^2. Assim
\mathcal{L}\{3(t-5)u_5(t)\}=3\,e^{-5s}\cdot\frac{1}{s^{2}}.
  1. Para o termo -\dfrac{3}{2}(t-10)u_{10}(t):
\mathcal{L}\left\{-\dfrac{3}{2}(t-10)u_{10}(t)\right\}=-\dfrac{3}{2}\,e^{-10s}\cdot\frac{1}{s^{2}}.

Passo 6

Somar os termos da transformada (pela linearidade):
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=-\dfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}}+3\,\frac{e^{-5s}}{s^{2}}-\dfrac{3}{2}\,\frac{e^{-10s}}{s^{2}}.
Fatorando \dfrac{3}{s^{2}} para simplificar a escrita:
F(s)=\dfrac{3}{s^{2}}\left(-\dfrac{1}{2}+e^{-5s}-\dfrac{1}{2}e^{-10s}\right).

Resposta

F(s)=-\dfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}}+3\,\frac{e^{-5s}}{s^{2}}-\dfrac{3}{2}\,\frac{e^{-10s}}{s^{2}}
\text{ou}\qquad F(s)=\dfrac{3}{s^{2}}\left(-\dfrac{1}{2}+e^{-5s}-\dfrac{1}{2}e^{-10s}\right)

Exercícios relacionados