Calcule os volumes dos sólidos de revolução obtidos por girar em torno das retas dadas abaixo,as seguintes regiões:
em torno da reta x=-1,a região limitada pelo gráfico de x=\frac{y^{2}}{2}+1 e pelas retas y=-2 e y=2 ;
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado fornece e o que é pedido.
O enunciado dá a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1.
Dá as retas horizontais y=-2 e y=2.
Pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas curvas em torno da reta vertical x=-1.
Observação importante (para que a região seja limitada): a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1 tem vértice em x=1 quando y=0. A interpretação natural e habitual — e que fecha a região com as três curvas dadas — é tomar a região compreendida entre a reta vertical x=1 (a partir do vértice), a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1 e as retas y=-2 e y=2. Ou seja, para cada y\in[-2,2] a região vai de x=1 até x=\dfrac{y^{2}}{2}+1. Esta é a região que vou usar para calcular o volume ao girar em torno de x=-1.
Passo 2
Escolha do método e ideia geométrica (sem cálculos ainda).
Como estamos girando uma região delimitada por curvas verticais (valores de x como função de y) em torno de uma reta vertical x=-1, o método das “lavadoras” (discos com furo) usando integrais em y é o mais direto.
Para cada y fixo, a secção transversal perpendicular ao eixo de rotação é um anel (lavadora) com raio externo igual à distância do eixo x=-1 até o lado mais afastado da região (que é x=\dfrac{y^{2}}{2}+1) e raio interno igual à distância do eixo até o lado mais próximo da região (que é x=1).
Vou definir essas distâncias e montar a integral do volume.
Passo 3
Definir as distâncias (raios) em termos de y.
Distância do eixo x=-1 até a curva externa x=\dfrac{y^{2}}{2}+1: