Calcule os volumes dos sólidos de revolução obtidos por girar em torno das retas dadas abaixo,as seguintes regiões:
em torno da reta x=-1,a região limitada pelo gráfico de x=\frac{y^{2}}{2}+1 e pelas retas y=-2 e y=2 ;

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • O enunciado dá a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1.
  • Dá as retas horizontais y=-2 e y=2.
  • Pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas curvas em torno da reta vertical x=-1.
Observação importante (para que a região seja limitada): a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1 tem vértice em x=1 quando y=0. A interpretação natural e habitual — e que fecha a região com as três curvas dadas — é tomar a região compreendida entre a reta vertical x=1 (a partir do vértice), a curva x=\dfrac{y^{2}}{2}+1 e as retas y=-2 e y=2. Ou seja, para cada y\in[-2,2] a região vai de x=1 até x=\dfrac{y^{2}}{2}+1. Esta é a região que vou usar para calcular o volume ao girar em torno de x=-1.

Passo 2

Escolha do método e ideia geométrica (sem cálculos ainda).
  • Como estamos girando uma região delimitada por curvas verticais (valores de x como função de y) em torno de uma reta vertical x=-1, o método das “lavadoras” (discos com furo) usando integrais em y é o mais direto.
  • Para cada y fixo, a secção transversal perpendicular ao eixo de rotação é um anel (lavadora) com raio externo igual à distância do eixo x=-1 até o lado mais afastado da região (que é x=\dfrac{y^{2}}{2}+1) e raio interno igual à distância do eixo até o lado mais próximo da região (que é x=1).
Vou definir essas distâncias e montar a integral do volume.

Passo 3

Definir as distâncias (raios) em termos de y.
  • Distância do eixo x=-1 até a curva externa x=\dfrac{y^{2}}{2}+1:
R(y)=\left(\dfrac{y^{2}}{2}+1\right)-(-1)=\dfrac{y^{2}}{2}+2.
Aqui R(y) é o raio externo do anel para a seção em altura y.
  • Distância do eixo x=-1 até a reta vertical x=1 (lado interno, constante):
r(y)=1-(-1)=2.
Aqui r(y) é o raio interno (constante).

Passo 4

Fórmula do volume por lavadoras (explicação didática).
  • A área de um anel de raio externo R e raio interno r é \pi\big(R^{2}-r^{2}\big).
  • Para obter o volume do sólido gerado pela rotação, integramos essa área ao longo do intervalo de y que descreve a região:
V=\int_{y=-2}^{2} \pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big)\,dy.
  • Substituindo os R(y) e r(y) encontrados:
V=\pi\int_{-2}^{2}\left[\left(\dfrac{y^{2}}{2}+2\right)^{2}-2^{2}\right]dy.

Passo 5

Desenvolver a expressão dentro da integral (álgebra cuidadosa, passo a passo).
Calculemos \left(\dfrac{y^{2}}{2}+2\right)^{2}:
\left(\dfrac{y^{2}}{2}+2\right)^{2}=\left(\dfrac{y^{2}}{2}\right)^{2}+2\cdot\left(\dfrac{y^{2}}{2}\right)\cdot 2 + 2^{2} =\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}+4.
Logo
\left(\dfrac{y^{2}}{2}+2\right)^{2}-2^{2} =\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}+4\right)-4 =\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}.
Portanto a integral do volume fica
V=\pi\int_{-2}^{2}\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}\right)dy.

Passo 6

Usar simetria e calcular a integral (explicando cada passo).
  • A função integranda \dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2} é função par (depende apenas de potências pares de y), então
\int_{-2}^{2}\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}\right)dy =2\int_{0}^{2}\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}\right)dy.
Calcule as primitivas separadamente.
  1. Para \dfrac{y^{4}}{4}:
\int \dfrac{y^{4}}{4}\,dy = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{y^{5}}{5} = \dfrac{y^{5}}{20}.
  1. Para 2y^{2}:
\int 2y^{2}\,dy = 2\cdot \dfrac{y^{3}}{3} = \dfrac{2y^{3}}{3}.
Agora avalie de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}\right)dy =\left[\dfrac{y^{5}}{20}+\dfrac{2y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Calcule os termos em y=2:
\dfrac{2^{5}}{20}=\dfrac{32}{20}=\dfrac{8}{5}, \qquad \dfrac{2\cdot 2^{3}}{3}=\dfrac{2\cdot 8}{3}=\dfrac{16}{3}.
Somando:
\left.\dfrac{y^{5}}{20}+\dfrac{2y^{3}}{3}\right|_{0}^{2} =\dfrac{8}{5}+\dfrac{16}{3}.
Colocando em denominar comum 15:
\dfrac{8}{5}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{24}{15}+\dfrac{80}{15}=\dfrac{104}{15}.
Como a integral de -2 a 2 é o dobro disso:
\int_{-2}^{2}\left(\dfrac{y^{4}}{4}+2y^{2}\right)dy = 2\cdot \dfrac{104}{15}=\dfrac{208}{15}.

Passo 7

Montar o resultado final do volume.
Multiplicando pelo fator \pi que estava fora da integral:
V=\pi\cdot \dfrac{208}{15}=\dfrac{208\pi}{15}.
Interpretando: esse é o volume do sólido obtido ao girar a região entre x=1 e x=\dfrac{y^{2}}{2}+1 para -2\le y\le 2 em torno da reta x=-1.

Resposta

\dfrac{208\pi}{15}

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