Calcule o Wronskiano das funções f(x) e g(x).
f(x)=\cos (a x) e g(x)=\operatorname{sen}(b x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o Wronskiano das funções f(x) e g(x).
Informações dadas: f(x)=\cos(ax) e g(x)=\operatorname{sen}(bx).
Ou seja, temos duas funções reais de x dependendo dos parâmetros (constantes) a e b. A tarefa é obter a expressão de W(f,g)(x).

Passo 2

Definição do Wronskiano para duas funções: se f e g são duas funções diferenciáveis, o Wronskiano W(f,g)(x) é o determinante da matriz formada por f,g e suas derivadas. Em fórmula:
W(f,g)(x)=\det\begin{pmatrix}f(x) & g(x)\\[4pt] f'(x) & g'(x)\end{pmatrix}=f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Aqui cada termo significa:
  • f(x) e g(x): os valores das funções no ponto x,
  • f'(x) e g'(x): as derivadas em relação a x.]

Passo 3

Calcular as derivadas usando a regra da cadeia (a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' e a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'):
f(x)=\cos(ax)\quad\Rightarrow\quad f'(x) = -a\sin(ax),
g(x)=\operatorname{sen}(bx)\quad\Rightarrow\quad g'(x) = b\cos(bx).
Expliquei: para f, tomo u=ax com u'=a; para g, tomo u=bx com u'=b.

Passo 4

Substituir f,f',g,g' na fórmula do Wronskiano:
W(f,g)(x)=f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).
Agora colocar as expressões obtidas:
W(f,g)(x)=\cos(ax)\cdot\bigl(b\cos(bx)\bigr)-\bigl(-a\sin(ax)\bigr)\cdot\sin(bx).

Passo 5

Fazer a álgebra e simplificar os sinais:
W(f,g)(x)=b\cos(ax)\cos(bx)+a\sin(ax)\sin(bx).
Aqui juntei os termos e removi o sinal duplo negativo.

Passo 6

Opcional — escrever o resultado numa forma alternativa usando identidades trigonométricas (produto-para-soma) para entender a estrutura: use
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr),
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr).
Aplicando com A=ax e B=bx obtemos
W(f,g)(x)=\tfrac{1}{2}\bigl((a+b)\cos\bigl((a-b)x\bigr)+(b-a)\cos\bigl((a+b)x\bigr)\bigr).
Essa forma às vezes facilita ver casos particulares, por exemplo se a=b então W(f,g)(x)=a.

Resposta

\displaystyle W(f,g)(x)=b\cos(ax)\cos(bx)+a\sin(ax)\sin(bx)=\tfrac{1}{2}\bigl((a+b)\cos((a-b)x)+(b-a)\cos((a+b)x)\bigr)

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