Calcule o Wronskiano das funções
e
.
e
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o Wronskiano das funções
e
.
Informações dadas: e
.
Ou seja, temos duas funções reais de dependendo dos parâmetros (constantes)
e
. A tarefa é obter a expressão de
.
Informações dadas:
Ou seja, temos duas funções reais de
Passo 2
Definição do Wronskiano para duas funções: se
e
são duas funções diferenciáveis, o Wronskiano
é o determinante da matriz formada por
e suas derivadas. Em fórmula:
Aqui cada termo significa:
-
e : os valores das funções no ponto , -
e : as derivadas em relação a .]
Passo 3
Calcular as derivadas usando a regra da cadeia (a derivada de
é
e a derivada de
é
):
Expliquei: para
, tomo
com
; para
, tomo
com
.
Passo 4
Substituir
na fórmula do Wronskiano:
Agora colocar as expressões obtidas:
Passo 5
Fazer a álgebra e simplificar os sinais:
Aqui juntei os termos e removi o sinal duplo negativo.
Passo 6
Opcional — escrever o resultado numa forma alternativa usando identidades trigonométricas (produto-para-soma) para entender a estrutura: use
Aplicando com
e
obtemos
Essa forma às vezes facilita ver casos particulares, por exemplo se
então
.