Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=3 x^{2}+2 cos (x)-12 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes usando o método das constantes a determinar:
y''+y'=3x^{2}+2\cos(x)-12e^{3x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e homogênea à esquerda com termos não homogêneos à direita;
  • O segundo membro é soma de três termos distintos: um polinômio 3x^{2}, uma função trigonométrica 2\cos(x) e uma exponencial -12e^{3x};
  • Devemos encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''+y'=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}+r=0.
Resolvendo:
r(r+1)=0\implies r=0,\; r=-1.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o método das constantes a determinar para obter uma solução particular y_{p}. A ideia: escolher um candidato (ansatz) para y_{p} com coeficientes indeterminados, derivá-lo, substituir na equação e igualar coeficientes.
Escolhemos um termo particular para cada parcela do segundo membro e somamos:
  • Para 3x^{2} (polinômio de grau 2): normalmente tentaríamos \tilde{P}(x)=Ax^{2}+Bx+C. Porém como r=0 é raiz da característica (o que dá termo constante na homogênea), há ressonância com constantes; multiplicamos o polinômio por x (multiplicidade 1), portanto o candidato é um polinômio de grau 3 sem termo constante independente:
P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx.
  • Para 2\cos x: usamos combinação linear de \cos x e \sin x:
T(x)=D\cos x + E\sin x.
Não há ressonância com r=\pm i (essas raízes não aparecem na característica), então não multiplicamos por x.
  • Para -12e^{3x}: tentamos
S(x)=F e^{3x},
não há ressonância com r=3 (não é raiz da característica).
Somando os candidatos:
y_{p}=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx + D\cos x + E\sin x + F e^{3x}.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias de y_{p}.
Derivada primeira:
y_{p}' = 3A x^{2} + 2B x + C \;-\; D\sin x + E\cos x \;+\; 3F e^{3x}.
Derivada segunda:
y_{p}'' = 6A x + 2B \;-\; D\cos x - E\sin x \;+\; 9F e^{3x}.
Expliquei: derivada de Ax^{3} é 3A x^{2}; de Bx^{2} é 2B x; de Cx é C. Para trigonométricos, (\cos)'=-\sin e (\sin)'=\cos. Para exponencial, (e^{3x})' = 3e^{3x} e (e^{3x})'' = 9e^{3x}.

Passo 5

Agora montamos y_{p}''+y_{p}' somando termo a termo.
Parte polinomial:
(3A x^{2} + 2B x + C) + (6A x + 2B) = 3A x^{2} + (6A+2B)x + (2B + C).
Parte trigonométrica:
(-D\cos x - E\sin x) + (-D\sin x + E\cos x) = (-D+E)\cos x + (-E - D)\sin x.
Parte exponencial:
9F e^{3x} + 3F e^{3x} = 12F e^{3x}.
Portanto
y_{p}''+y_{p}' = 3A x^{2} + (6A+2B)x + (2B + C) + (-D+E)\cos x + (-E - D)\sin x + 12F e^{3x}.

Passo 6

Igualamos y_{p}''+y_{p}' ao termo do segundo membro:
3A x^{2} + (6A+2B)x + (2B + C) + (-D+E)\cos x + (-E - D)\sin x + 12F e^{3x} = 3x^{2} + 2\cos x -12 e^{3x}.
Agora igualamos coeficientes de termos independentes (polinômios por grau, \cos x, \sin x, e^{3x}).
Do polinômio:
  • Coeficiente de x^{2}: 3A = 3 \implies A=1.
  • Coeficiente de x: 6A+2B = 0 (não há termo em x no segundo membro) \implies 6\cdot1 + 2B = 0 \Rightarrow 2B = -6 \Rightarrow B=-3.
  • Termo constante (polinomial): 2B + C = 0 \implies 2(-3)+C=0 \Rightarrow C=6.

Passo 7

Do sistema trigonométrico:
(-D+E)=2 \quad\text{(coeficiente de }\cos x\text{)},
(-E - D)=0 \quad\text{(coeficiente de }\sin x\text{)}.
Da segunda equação obtemos E + D = 0 \Rightarrow E = -D. Substituindo na primeira:
-D + (-D) = 2 \Rightarrow -2D = 2 \Rightarrow D = -1.
Então E = -D = 1.

Passo 8

Da parte exponencial:
12F = -12 \Rightarrow F = -1.

Passo 9

Com todos os coeficientes encontrados:
A=1,\; B=-3,\; C=6,\; D=-1,\; E=1,\; F=-1,
a solução particular é
y_{p} = x^{3} - 3x^{2} + 6x \;-\; \cos x + \sin x \;-\; e^{3x}.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x} + x^{3} - 3x^{2} + 6x - \cos x + \sin x - e^{3x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x} + x^{3} - 3x^{2} + 6x - \cos x + \sin x - e^{3x}

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