Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes usando o método das constantes a determinar:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e homogênea à esquerda com termos não homogêneos à direita;
- O segundo membro é soma de três termos distintos: um polinômio
, uma função trigonométrica e uma exponencial ; - Devemos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo:
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o método das constantes a determinar para obter uma solução particular
. A ideia: escolher um candidato (ansatz) para
com coeficientes indeterminados, derivá-lo, substituir na equação e igualar coeficientes.
Escolhemos um termo particular para cada parcela do segundo membro e somamos:
- Para
(polinômio de grau 2): normalmente tentaríamos . Porém como é raiz da característica (o que dá termo constante na homogênea), há ressonância com constantes; multiplicamos o polinômio por (multiplicidade 1), portanto o candidato é um polinômio de grau 3 sem termo constante independente:
- Para
: usamos combinação linear de e :
Não há ressonância com
(essas raízes não aparecem na característica), então não multiplicamos por
.
- Para
: tentamos
não há ressonância com
(não é raiz da característica).
Somando os candidatos:
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias de
.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Expliquei: derivada de
é
; de
é
; de
é
. Para trigonométricos,
e
. Para exponencial,
e
.
Passo 5
Agora montamos
somando termo a termo.
Parte polinomial:
Parte trigonométrica:
Parte exponencial:
Portanto
Passo 6
Igualamos
ao termo do segundo membro:
Agora igualamos coeficientes de termos independentes (polinômios por grau,
,
,
).
Do polinômio:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: (não há termo em no segundo membro) . - Termo constante (polinomial):
.
Passo 7
Do sistema trigonométrico:
Da segunda equação obtemos
. Substituindo na primeira:
Então
.
Passo 8
Da parte exponencial:
Passo 9
Com todos os coeficientes encontrados:
a solução particular é
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.