Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por: f(x)=\left\{\begin{array}{cr}\frac{1}{4} x e^{\frac{-x}{2}}, & \text { se } \quad x>0 \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á Passo 1O enunciado pede para calcular a esperança \E(X) e a variância \Var(X) de uma variável aleatória contínua X cuja densidade é f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{4}\,x\,e^{-x/2},&x>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á Esse é um problema de expectativa e variância de distribuições contínuas; podemos reconhecer a densidade como uma distribuição Gama ou então fazer integrais impróprias. Passo 2Repare que a forma geral da densidade Gama é f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\theta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\theta},\quad x>0. Aqui temos x^{1}e^{-x/2} e o fator 1/4. Como \Gamma(2)=1 e \theta^2=4, vemos que \frac{1}{\Gamma(2)\,2^{2}}\,x^{2-1}e^{-x/2} =\frac{1}{4}\,x\,e^{-x/2}, logo X\sim \mathrm{Gama}(\alpha=2,\;\theta=2). Passo 3Para X\sim \mathrm{Gama}(\alpha,\theta) vale \E(X)=\alpha\,\theta. Substituindo \alpha=2 e \theta=2, temos \E(X)=2\cdot2=4. Passo 4Também vale para a Gama \Var(X)=\alpha\,\theta^{2}. Com \alpha=2 e \theta=2, \Var(X)=2\cdot2^{2}=2\cdot4=8. Resposta \E(X)=4 \Var(X)=8 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosA quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\lambda e^{-x / 100}, & \text { se } \quad x \geqslant 0 \\\ 0, & \text { se } \quad x<0\end{array}\right. Qual é a probabilidade de que ele funcione menos de 100 horas? Suponha que X \sim \operatorname{Exp}(\lambda). Verificar que (a) f é legítima; (b) F(x)=P(X \leq x)=1-e^{-\lambda x}, x \geq 0, F(x)=0, x<0. (c) E(X)=\lambda e V(X)=1 / \lambda^{2}. (d) Dados t, t_{0} números reais positivos P\left(X \geq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \geq t) \text { e } P\left(X \leq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \leq t) Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por: f(x)=\left\{\begin{array}{cr}\frac{1}{4} x e^{\frac{-x}{2}}, & \text { se } \quad x>0 \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\lambda e^{-x / 100}, & \text { se } \quad x \geqslant 0 \\\ 0, & \text { se } \quad x<0\end{array}\right. Qual é a probabilidade de que ele funcione menos de 100 horas?