Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr}\frac{1}{4} x e^{\frac{-x}{2}}, & \text { se } \quad x>0 \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança \E(X) e a variância \Var(X) de uma variável aleatória contínua X cuja densidade é
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{4}\,x\,e^{-x/2},&x>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
Esse é um problema de expectativa e variância de distribuições contínuas; podemos reconhecer a densidade como uma distribuição Gama ou então fazer integrais impróprias.

Passo 2

Repare que a forma geral da densidade Gama é
f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\theta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\theta},\quad x>0.
Aqui temos x^{1}e^{-x/2} e o fator 1/4. Como \Gamma(2)=1 e \theta^2=4, vemos que
\frac{1}{\Gamma(2)\,2^{2}}\,x^{2-1}e^{-x/2} =\frac{1}{4}\,x\,e^{-x/2},
logo X\sim \mathrm{Gama}(\alpha=2,\;\theta=2).

Passo 3

Para X\sim \mathrm{Gama}(\alpha,\theta) vale
\E(X)=\alpha\,\theta.
Substituindo \alpha=2 e \theta=2, temos
\E(X)=2\cdot2=4.

Passo 4

Também vale para a Gama
\Var(X)=\alpha\,\theta^{2}.
Com \alpha=2 e \theta=2,
\Var(X)=2\cdot2^{2}=2\cdot4=8.

Resposta

\E(X)=4 \Var(X)=8

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