A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\lambda e^{-x / 100}, & \text { se } \quad x \geqslant 0 \\\ 0, & \text { se } \quad x<0\end{array}\right.
Qual é a probabilidade de que
ele funcione menos de 100 horas?

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-x/100},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
Queremos a probabilidade \Pr(X<100)\]. Para isso vamos precisar (1) determinar \(\lambda para que f seja de fato uma densidade e (2) integrar f de 0 a 100.

Passo 2

Normalização de f exige
\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-x/100}\,dx=1.
Como
\int_{0}^{\infty}e^{-x/100}\,dx =\bigl[-100\,e^{-x/100}\bigr]_{0}^{\infty} =100,
segue
\lambda\cdot100=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\tfrac{1}{100}.

Passo 3

Com \lambda=\tfrac{1}{100}, calculamos
\Pr(X<100) =\int_{0}^{100}\frac{1}{100}e^{-x/100}\,dx =\bigl[-e^{-x/100}\bigr]_{0}^{100} =1-e^{-1}.

Resposta

1 - e^{-1}

Exercícios relacionados