Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(1-x^{2}\right), & -1<x<1, \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)=\begin{cases} c\,(1-x^{2}),&-1<x<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos determinar a constante de normalização c\], calcular a esperança \(E(X) e a variância \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Para achar c, usamos a condição
\int_{-\!1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-\!1}^{1}c\,(1-x^{2})\,dx =1.
Como
\int_{-\!1}^{1}(1-x^{2})\,dx =\Bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =(1-\tfrac{1}{3})-(-1+\tfrac{1}{3}) =\tfrac{2}{3}-(-\tfrac{2}{3}) =\tfrac{4}{3},
temos
c\;\frac{4}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{3}{4}.

Passo 3

A esperança é
E(X) =\int_{-\!1}^{1}x\,f(x)\,dx =\int_{-\!1}^{1}x\;\frac{3}{4}\,(1-x^{2})\,dx.
A integranda x(1-x^{2}) é função ímpar em [-1,1], logo a integral vale zero. Portanto
E(X)=0.

Passo 4

Para E(X^{2}), calculamos
E(X^{2}) =\int_{-\!1}^{1}x^{2}\,f(x)\,dx =\frac{3}{4}\int_{-\!1}^{1}x^{2}(1-x^{2})\,dx =\frac{3}{4}\Bigl(\int_{-\!1}^{1}x^{2}\,dx-\int_{-\!1}^{1}x^{4}\,dx\Bigr).
Sabendo que
\int_{-\!1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3}, \quad \int_{-\!1}^{1}x^{4}\,dx=\frac{2}{5},
segue
E(X^{2}) =\frac{3}{4}\Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{5}\Bigr) =\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{15} =\frac{3}{15} =\frac{1}{5}.

Passo 5

A variância é
\operatorname{Var}(X) =E(X^{2})-\bigl[E(X)\bigr]^{2} =\frac{1}{5}-0^{2} =\frac{1}{5}.

Resposta

E(X)=0 \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{5}

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