Calcule y’ por derivação implícita. ( 0,5 ponto cada)
5 x-x^{2} y^{3}=2 y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
5x - x^2 y^3 = 2y
e pede y'=\frac{dy}{dx}. Vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto quando differentiarmos x^2y^3 e a regra da cadeia em y^3.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(5x) \;-\;\frac{d}{dx}(x^2y^3)\;=\;\frac{d}{dx}(2y).
Usando \frac{d}{dx}(5x)=5, a regra do produto
\frac{d}{dx}(x^2y^3) =2x\,y^3 + x^2\cdot\frac{d}{dx}(y^3) =2x\,y^3 + x^2\cdot(3y^2\,y'),
e \frac{d}{dx}(2y)=2y', obtemos
5 \;-\;\bigl(2x\,y^3 + 3x^2y^2\,y'\bigr)\;=\;2y'.

Passo 3

Expandindo e isolando os termos com y':
5 - 2x\,y^3 - 3x^2y^2\,y' = 2y' \quad\Longrightarrow\quad 5 - 2x\,y^3 = 2y' + 3x^2y^2\,y' = (2 + 3x^2y^2)\,y'.

Passo 4

Divide-se ambos os lados por (2 + 3x^2y^2) para obter y':
y' = \frac{5 - 2x\,y^3}{2 + 3x^2y^2}.

Resposta

y' = \frac{5 - 2x\,y^3}{3x^2y^2 + 2}.

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