Calcule y’ por derivação implícita. ( 0,5 ponto cada)
(2 x+y)^{3}=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular y' da curva definida implicitamente por
(2x+y)^{3} = x.
O conteúdo principal aqui é derivação implícita, aplicando a regra da cadeia para a função composta (2x+y)^{3} e lembrando que ao derivar y em relação a x aparece y'.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[(2x+y)^{3}\bigr] \;=\;\frac{d}{dx}[x].

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[(2x+y)^{3}\bigr] =3(2x+y)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(2x+y).
E como \frac{d}{dx}(2x+y)=2+y', temos
\frac{d}{dx}\bigl[(2x+y)^{3}\bigr] =3(2x+y)^{2}(2+y').

Passo 4

A derivada do lado direito é
\frac{d}{dx}[x]=1.
Portanto a equação diferencial fica
3(2x+y)^{2}(2+y') = 1.

Passo 5

Isolando y':
2+y'=\frac{1}{3(2x+y)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{1}{3(2x+y)^{2}}-2.

Resposta

y'=\frac{1}{3(2x+y)^{2}}-2.

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