Calcule y^prime :
Determine
y=x t g^-1(4 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x ,arctanl(4xr)
Aqui vamos usar a regra do produto para funções e, dentro dela, aplicar a regra da cadeia para a derivada de arctan(4x).

Passo 2

Pela regra do produto, se y = u(x),v(x) então
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
No nosso caso u(x)=x e v(x)=arctan(4x). Logo
y' = ddx[x];arctan(4x);+;x;ddxl[arctan(4x)r]

Passo 3

A derivada de x é
ddx[x]=1
Para arctan(4x) usamos regra da cadeia: se w(x)=4x então
ddx[arctan(w)] = 11+w^2,w'(x)
e aqui w'(x)=4, w=4x. Portanto
ddxl[arctan(4x)r] = 11+(4x)^2cdot 4 = 41+16x^2

Passo 4

Substituindo esses resultados em y':
y' = 1cdot arctan(4x) ;+; xcdot 41+16x^2 = arctan(4x) + 4x1+16x^2

Resposta

y' = arctan(4x) + 4x1+16x^2

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