Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular
para a função
Não há outras informações; o objetivo é obter a derivada de
em função de
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação curta e amigável): essa expressão é uma fração contínua bem enrolada, mas muitas vezes é muito mais rápido e menos sujeito a erro simplificar algebricamente a expressão antes de derivar, em vez de aplicar cadeia várias vezes. Vou simplificar passo a passo as frações internas para obter uma forma mais simples de
e só então derivar.
Passo 3
Simplificação interna por etapas. Definir e simplificar cada bloco (cada igualdade é mostrada isoladamente):
Agora a função original é
Passo 4
Forma mais simples de
: escrever de modo que fique evidente a derivação:
Explicando rápido: converter a fração
para
facilita o uso da regra de potência.
Passo 5
Revisão rápida das regras de derivação que vou usar (tipo aula curtinha):
- Regra da derivada de uma constante: se
é constante, então . - Regra da potência: para qualquer real
, . Em particular, para ,
- Derivada de uma soma/ diferença: deriva-se termo a termo.
Passo 6
Calcular a derivada aplicando as regras acima à forma simplificada
:
Passo 7
Observações sobre domínio (importante na prova): a expressão original tem denominadores aninhados; durante a simplificação apareceram restrições. Para que a função original esteja bem definida é necessário que
A derivada
também só faz sentido para
; portanto, no uso prático, lembre-se de respeitar essas restrições do enunciado.