Calcule y^{\prime} :
y=\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}\'

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular y' para a função
y=\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}.
Não há outras informações; o objetivo é obter a derivada de y em função de x.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação curta e amigável): essa expressão é uma fração contínua bem enrolada, mas muitas vezes é muito mais rápido e menos sujeito a erro simplificar algebricamente a expressão antes de derivar, em vez de aplicar cadeia várias vezes. Vou simplificar passo a passo as frações internas para obter uma forma mais simples de y e só então derivar.

Passo 3

Simplificação interna por etapas. Definir e simplificar cada bloco (cada igualdade é mostrada isoladamente):
u_1=1-\frac{1}{x}= \frac{x-1}{x}.
u_2=\frac{1}{u_1}=\frac{1}{\tfrac{x-1}{x}}=\frac{x}{x-1}.
u_3=1+u_2=1+\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+x}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}.
u_4=\frac{1}{u_3}=\frac{1}{\tfrac{2x-1}{x-1}}=\frac{x-1}{2x-1}.
u_5=1-u_4=1-\frac{x-1}{2x-1}=\frac{2x-1-(x-1)}{2x-1}=\frac{x}{2x-1}.
Agora a função original é
y=\frac{1}{u_5}=\frac{1}{\tfrac{x}{2x-1}}=\frac{2x-1}{x}.

Passo 4

Forma mais simples de y: escrever de modo que fique evidente a derivação:
y=\frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}.
Explicando rápido: converter a fração \dfrac{2x-1}{x} para 2 - x^{-1} facilita o uso da regra de potência.

Passo 5

Revisão rápida das regras de derivação que vou usar (tipo aula curtinha):
  • Regra da derivada de uma constante: se c é constante, então \dfrac{d}{dx}c=0.
  • Regra da potência: para qualquer real n, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Em particular, para n=-1,
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
  • Derivada de uma soma/ diferença: deriva-se termo a termo.

Passo 6

Calcular a derivada aplicando as regras acima à forma simplificada y=2-x^{-1}:
y'= \frac{d}{dx}\bigl(2\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=0-(-x^{-2})=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 7

Observações sobre domínio (importante na prova): a expressão original tem denominadores aninhados; durante a simplificação apareceram restrições. Para que a função original esteja bem definida é necessário que
x\neq 0,\qquad x\neq 1,\qquad x\neq \tfrac{1}{2}.
A derivada \dfrac{1}{x^{2}} também só faz sentido para x\neq 0; portanto, no uso prático, lembre-se de respeitar essas restrições do enunciado.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1}{x^{2}}

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