Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas importantes:
- A função tem potências negativas (
e ), portanto o domínio exige . - A tarefa é somente encontrar a derivada
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a escrita retirando potências negativas, multiplicando numerador e denominador por
(isso é válido para
, que já notamos como condição de domínio). Multiplicando:
Logo podemos reescrever
Trabalhar com essa forma polinomial é muito mais confortável para derivar.
Passo 3
Vamos usar a regra do quociente. Apresentando a fórmula e explicando:
onde
é o numerador e
é o denominador. A ideia é derivar
e
separadamente e combinar como a fórmula manda.
Também vamos usar a regra básica de derivação de potências:
onde
é qualquer número real (no nosso caso inteiros).
Passo 4
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas:
Aplicando a regra da potência termo a termo,
Passo 5
Agora calculamos o produto
. Vamos expandir cuidadosamente:
Multiplicando termo a termo:
Somando tudo:
ou seja
Passo 6
Agora calculamos o produto
:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
ou seja
Passo 7
Subtraímos
de
para obter o numerador da regra do quociente:
Fazendo a subtração termo a termo e agrupando semelhantes:
Portanto o numerador simplificado é
Passo 8
Finalmente aplicamos a fórmula do quociente, dividindo o numerador obtido por
, isto é
. Assim a derivada é
com a observação de que isso vale para
(domínio original).