Calcule y^{\prime} :
y=\frac{x^{-2}+2 x^{3}-2}{1+x^{-3}+x^{2}}\'

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada y^{\prime} da função
y=\frac{x^{-2}+2 x^{3}-2}{1+x^{-3}+x^{2}}.
Informações dadas importantes:
  • A função tem potências negativas ( x^{-2} e x^{-3}), portanto o domínio exige x\neq0.
  • A tarefa é somente encontrar a derivada y^{\prime}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a escrita retirando potências negativas, multiplicando numerador e denominador por x^{3} (isso é válido para x\neq0, que já notamos como condição de domínio). Multiplicando:
x^{3}\bigl(x^{-2}+2x^{3}-2\bigr)=2x^{6}-2x^{3}+x,
x^{3}\bigl(1+x^{-3}+x^{2}\bigr)=x^{5}+x^{3}+1.
Logo podemos reescrever
y=\frac{2x^{6}-2x^{3}+x}{x^{5}+x^{3}+1}.
Trabalhar com essa forma polinomial é muito mais confortável para derivar.

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente. Apresentando a fórmula e explicando:
\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}},
onde u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. A ideia é derivar u e v separadamente e combinar como a fórmula manda.
Também vamos usar a regra básica de derivação de potências:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
onde n é qualquer número real (no nosso caso inteiros).

Passo 4

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas:
u(x)=2x^{6}-2x^{3}+x, \qquad v(x)=x^{5}+x^{3}+1.
Aplicando a regra da potência termo a termo,
u^{\prime}(x)=12x^{5}-6x^{2}+1,
v^{\prime}(x)=5x^{4}+3x^{2}.

Passo 5

Agora calculamos o produto u^{\prime}v. Vamos expandir cuidadosamente:
u^{\prime}v=(12x^{5}-6x^{2}+1)(x^{5}+x^{3}+1).
Multiplicando termo a termo:
12x^{5}(x^{5}+x^{3}+1)=12x^{10}+12x^{8}+12x^{5},
-6x^{2}(x^{5}+x^{3}+1)=-6x^{7}-6x^{5}-6x^{2},
1\cdot(x^{5}+x^{3}+1)=x^{5}+x^{3}+1.
Somando tudo:
u^{\prime}v=12x^{10}+12x^{8}-6x^{7}+(12-6+1)x^{5}+x^{3}-6x^{2}+1,
ou seja
u^{\prime}v=12x^{10}+12x^{8}-6x^{7}+7x^{5}+x^{3}-6x^{2}+1.

Passo 6

Agora calculamos o produto uv^{\prime}:
uv^{\prime}=(2x^{6}-2x^{3}+x)(5x^{4}+3x^{2}).
Multiplicando termo a termo:
2x^{6}(5x^{4}+3x^{2})=10x^{10}+6x^{8},
-2x^{3}(5x^{4}+3x^{2})=-10x^{7}-6x^{5},
x(5x^{4}+3x^{2})=5x^{5}+3x^{3}.
Somando:
uv^{\prime}=10x^{10}+6x^{8}-10x^{7}+(-6+5)x^{5}+3x^{3},
ou seja
uv^{\prime}=10x^{10}+6x^{8}-10x^{7}-x^{5}+3x^{3}.

Passo 7

Subtraímos uv^{\prime} de u^{\prime}v para obter o numerador da regra do quociente:
u^{\prime}v-uv^{\prime}= \bigl(12x^{10}+12x^{8}-6x^{7}+7x^{5}+x^{3}-6x^{2}+1\bigr) - \bigl(10x^{10}+6x^{8}-10x^{7}-x^{5}+3x^{3}\bigr).
Fazendo a subtração termo a termo e agrupando semelhantes:
\begin{aligned} &x^{10}:\;12-10=2\\\ &x^{8}:\;12-6=6\\\ &x^{7}:\;-6-(-10)=4\\\ &x^{5}:\;7-(-1)=8\\\ &x^{3}:\;1-3=-2\\\ &x^{2}:\;-6-0=-6\\\ &\text{constante}:\;1-0=1 \end{aligned}
Portanto o numerador simplificado é
2x^{10}+6x^{8}+4x^{7}+8x^{5}-2x^{3}-6x^{2}+1.

Passo 8

Finalmente aplicamos a fórmula do quociente, dividindo o numerador obtido por v^{2}, isto é (x^{5}+x^{3}+1)^{2}. Assim a derivada é
y^{\prime}=\frac{2x^{10}+6x^{8}+4x^{7}+8x^{5}-2x^{3}-6x^{2}+1}{\bigl(x^{5}+x^{3}+1\bigr)^{2}},
com a observação de que isso vale para x\neq0 (domínio original).

Resposta

y^{\prime}=\frac{2x^{10}+6x^{8}+4x^{7}+8x^{5}-2x^{3}-6x^{2}+1}{\bigl(x^{5}+x^{3}+1\bigr)^{2}}

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