Calcule
:
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
, onde a função é
Informações dadas:
- A função é o produto de três fatores:
, e . - O que se pede: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos recordar regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta e prática):
- Regra da soma (linearidade): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
. - Regra do poder (power rule): para um monômio
, vale . Aqui é um número inteiro positivo ou real; por exemplo . - Derivada de constante:
para constante . - Regra do produto para três fatores: se
, então
ou seja, derivamos cada fator separadamente mantendo os outros dois sem derivar, e somamos os três termos. Aqui
significa
, etc.
Passo 3
Identificamos os três fatores e vamos derivá-los separadamente:
- Definimos
. Então, pela regra do poder e da constante,
Explicação: derivada de
é
e derivada de
é
.
- Definimos
. Aplicando linearidade e regra do poder,
Explicação passo a passo:
,
,
.
- Definimos
. Aplicando as mesmas regras,
Explicação:
,
, e
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto para três fatores com
e suas derivadas:
Substituindo
que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão de forma organizada, fazendo contas algébricas que dá pra fazer à mão na prova.
Primeiro, fatoramos
dos dois primeiros termos:
Agora expandimos
para somar com
:
Somando:
Portanto a expressão fica
Podemos ainda notar que
, e escrever o último termo fatorado em
se quiser:
Ambas as formas são equivalentes; a forma final simplificada e organizada é a seguinte.