Calcule y^{\prime} :
y=(x+1)\left(x^{7}-5 x+1\right)\left(x^{3}-2 x^{2}-3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y, onde a função é
y=(x+1)\left(x^{7}-5 x+1\right)\left(x^{3}-2 x^{2}-3\right).
Informações dadas:
  • A função é o produto de três fatores: x+1, x^{7}-5x+1 e x^{3}-2x^{2}-3.
  • O que se pede: encontrar y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Vamos recordar regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta e prática):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x).
  • Regra do poder (power rule): para um monômio \,x^n, vale \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}. Aqui n é um número inteiro positivo ou real; por exemplo \dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}c = 0 para constante c.
  • Regra do produto para três fatores: se y=u(x)\,v(x)\,w(x), então
\frac{d}{dx}\big(u v w\big)=u' v w + u v' w + u v w',
ou seja, derivamos cada fator separadamente mantendo os outros dois sem derivar, e somamos os três termos. Aqui u' significa \dfrac{du}{dx}, etc.

Passo 3

Identificamos os três fatores e vamos derivá-los separadamente:
  • Definimos u(x)=x+1. Então, pela regra do poder e da constante,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.
Explicação: derivada de x é 1 e derivada de 1 é 0.
  • Definimos v(x)=x^{7}-5x+1. Aplicando linearidade e regra do poder,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{7}\big)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)=7x^{6}-5.
Explicação passo a passo: \dfrac{d}{dx}x^7=7x^6, \dfrac{d}{dx}(-5x)=-5, \dfrac{d}{dx}1=0.
  • Definimos w(x)=x^{3}-2x^{2}-3. Aplicando as mesmas regras,
w'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)-2\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}(3)=3x^{2}-4x.
Explicação: \dfrac{d}{dx}x^3=3x^2, \dfrac{d}{dx}(2x^2)=2\cdot 2x=4x, e \dfrac{d}{dx}3=0.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para três fatores com u,v,w e suas derivadas:
y'=u' v w + u v' w + u v w'.
Substituindo u,u',v,v',w,w' que encontramos:
y' = 1\cdot\big(x^{7}-5x+1\big)\cdot\big(x^{3}-2x^{2}-3\big) + (x+1)\cdot\big(7x^{6}-5\big)\cdot\big(x^{3}-2x^{2}-3\big) + (x+1)\cdot\big(x^{7}-5x+1\big)\cdot\big(3x^{2}-4x\big).

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão de forma organizada, fazendo contas algébricas que dá pra fazer à mão na prova.
Primeiro, fatoramos \big(x^{3}-2x^{2}-3\big) dos dois primeiros termos:
y'=\big(x^{3}-2x^{2}-3\big)\Big[\big(x^{7}-5x+1\big)+(x+1)\big(7x^{6}-5\big)\Big] +(x+1)\big(x^{7}-5x+1\big)\big(3x^{2}-4x\big).
Agora expandimos (x+1)\big(7x^{6}-5\big) para somar com \big(x^{7}-5x+1\big):
(x+1)\big(7x^{6}-5\big)=7x^{7}+7x^{6}-5x-5.
Somando:
\big(x^{7}-5x+1\big)+(7x^{7}+7x^{6}-5x-5)=8x^{7}+7x^{6}-10x-4.
Portanto a expressão fica
y'=\big(x^{3}-2x^{2}-3\big)\big(8x^{7}+7x^{6}-10x-4\big) +(x+1)\big(x^{7}-5x+1\big)\big(3x^{2}-4x\big).
Podemos ainda notar que \,3x^{2}-4x = x(3x-4), e escrever o último termo fatorado em x se quiser:
(x+1)\big(x^{7}-5x+1\big)\big(3x^{2}-4x\big)=x(x+1)\big(x^{7}-5x+1\big)(3x-4).
Ambas as formas são equivalentes; a forma final simplificada e organizada é a seguinte.

Resposta

y'=\big(x^{3}-2x^{2}-3\big)\big(8x^{7}+7x^{6}-10x-4\big) +(x+1)\big(x^{7}-5x+1\big)\big(3x^{2}-4x\big)

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