Calcule
:
’
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
O que se pede: calcular.
Passo 2
Qual método usar? Aqui usamos a regra do quociente porque temos uma função na forma
. A regra do quociente diz:
Explicando as letras:
é o numerador,
o denominador,
e
são as derivadas de
e
em relação a
. Vamos calcular
e
separadamente antes de aplicar a fórmula.
Passo 3
Calcular
com a regra da cadeia. Escrevendo
com
, a regra da cadeia diz:
Aqui
. Logo,
Explicando em palavras: primeiro derivamos
como
(onde
), depois multiplicamos pela derivada de
, que é
.
Passo 4
Calcular
. Para
usamos regras básicas (derivada de potência e constante):
Explicando: a derivada de
é
, a de
é
, e a de
é
.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente substituindo
,
,
,
:
Aqui já temos a forma correta; agora vamos simplificar o numerador fatorando o fator comum
.
Passo 6
Fatorar
do numerador:
Passo 7
Expandir cada termo dentro dos colchetes, passo a passo.
Calcular
:
Calcular
:
Agora subtrair o segundo do primeiro:
Passo 8
Substituir essa expressão de volta no numerador fatorado e escrever a derivada simplificada:
Isto é uma forma simplificada natural: extraímos o fator comum
e colocamos o restante como um polinômio de grau 6. Dá para tentar fatorar mais o polinômio, mas não é necessário para a prova a menos que peçam fatoração adicional.