Calcule y^{\prime} :
y=\frac{\left(x^{2}-3\right)^{3}}{x^{5}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\frac{\left(x^{2}-3\right)^{3}}{x^{5}-2x-3}.
Informações dadas:
  • O numerador é u(x)=\left(x^{2}-3\right)^{3}.
  • O denominador é v(x)=x^{5}-2x-3.
    O que se pede: calcular y^{\prime}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right).

Passo 2

Qual método usar? Aqui usamos a regra do quociente porque temos uma função na forma \dfrac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando as letras: u é o numerador, v o denominador, u' e v' são as derivadas de u e v em relação a x. Vamos calcular u' e v' separadamente antes de aplicar a fórmula.

Passo 3

Calcular u'(x) com a regra da cadeia. Escrevendo u(x)=\big(g(x)\big)^{3} com g(x)=x^{2}-3, a regra da cadeia diz:
u'(x)=3\big(g(x)\big)^{2}\cdot g'(x).
Aqui g'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{2}-3)=2x. Logo,
u'(x)=3\big(x^{2}-3\big)^{2}\cdot 2x=6x\big(x^{2}-3\big)^{2}.
Explicando em palavras: primeiro derivamos t^3 como 3t^2 (onde t=g(x)), depois multiplicamos pela derivada de g(x), que é 2x.

Passo 4

Calcular v'(x). Para v(x)=x^{5}-2x-3 usamos regras básicas (derivada de potência e constante):
v'(x)=5x^{4}-2.
Explicando: a derivada de x^{5} é 5x^{4}, a de -2x é -2, e a de -3 é 0.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente substituindo u, u', v, v':
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{6x\big(x^{2}-3\big)^{2}\big(x^{5}-2x-3\big)-\big(x^{2}-3\big)^{3}\big(5x^{4}-2\big)}{\big(x^{5}-2x-3\big)^{2}}.
Aqui já temos a forma correta; agora vamos simplificar o numerador fatorando o fator comum \big(x^{2}-3\big)^{2}.

Passo 6

Fatorar \big(x^{2}-3\big)^{2} do numerador:
\begin{aligned} \text{num} &=\big(x^{2}-3\big)^{2}\Big[6x\big(x^{5}-2x-3\big)-\big(x^{2}-3\big)\big(5x^{4}-2\big)\Big]. \end{aligned}

Passo 7

Expandir cada termo dentro dos colchetes, passo a passo.
Calcular 6x\big(x^{5}-2x-3\big):
6x\big(x^{5}-2x-3\big)=6x^{6}-12x^{2}-18x.
Calcular \big(x^{2}-3\big)\big(5x^{4}-2\big):
\big(x^{2}-3\big)\big(5x^{4}-2\big)=5x^{6}-15x^{4}-2x^{2}+6.
Agora subtrair o segundo do primeiro:
\begin{aligned} &\;6x^{6}-12x^{2}-18x-\big(5x^{6}-15x^{4}-2x^{2}+6\big)\\\ &=6x^{6}-12x^{2}-18x-5x^{6}+15x^{4}+2x^{2}-6\\\ &=x^{6}+15x^{4}-10x^{2}-18x-6. \end{aligned}

Passo 8

Substituir essa expressão de volta no numerador fatorado e escrever a derivada simplificada:
y'=\frac{\big(x^{2}-3\big)^{2}\big(x^{6}+15x^{4}-10x^{2}-18x-6\big)}{\big(x^{5}-2x-3\big)^{2}}.
Isto é uma forma simplificada natural: extraímos o fator comum \big(x^{2}-3\big)^{2} e colocamos o restante como um polinômio de grau 6. Dá para tentar fatorar mais o polinômio, mas não é necessário para a prova a menos que peçam fatoração adicional.

Resposta

y'=\frac{\big(x^{2}-3\big)^{2}\big(x^{6}+15x^{4}-10x^{2}-18x-6\big)}{\big(x^{5}-2x-3\big)^{2}}

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