Calcule y^{\prime} :
y=\frac{x^{5}-2 x-3}{x^{2}-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y^{\prime} da função racional
y=\frac{x^{5}-2x-3}{x^{2}-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{5}-2x-3.
  • Denominador: x^{2}-3.
  • Objetivo: encontrar y^{\prime}, a derivada de y em função de x.

Passo 2

Vou rever as regras de derivação que vou usar, explicando de forma bem direta.
  • Regra do poder (power rule): para um monômio \,x^{n}\, com n inteiro, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa que você multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
  • Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do quociente (quotient rule): se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
y'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador e v'(x) é a derivada do denominador. É bom memorizar como “ u'v - uv'” no numerador e “ v^{2}” no denominador.
Essas são as ferramentas necessárias.

Passo 3

Identifico u(x) e v(x) na nossa função e calculo as derivadas básicas:
  • Tomo u(x)=x^{5}-2x-3. Usando a regra do poder e a regra da soma:
    u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3\bigr) =5x^{4}-2-0=5x^{4}-2.
    Explicando cada termo: \frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4}; \frac{d}{dx}(2x)=2 e há um sinal menos; constante -3 tem derivada zero.
  • Tomo v(x)=x^{2}-3. Usando a regra do poder:
    v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3\bigr)=2x-0=2x.

Passo 4

Aplico a regra do quociente com os resultados acima. Substituindo u,u',v,v' na fórmula:
y'=\frac{\bigl(5x^{4}-2\bigr)\bigl(x^{2}-3\bigr)-\bigl(x^{5}-2x-3\bigr)\bigl(2x\bigr)}{\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}}.
Esse já é um resultado correto e aceitável na prova — mostra que você sabe usar a regra do quociente. Agora vamos simplificar o numerador para uma forma polinomial mais explícita, passo a passo.

Passo 5

Expando e simplifico o numerador com cuidado, juntando termos semelhantes:
  1. Multiplico \bigl(5x^{4}-2\bigr)\bigl(x^{2}-3\bigr):
\bigl(5x^{4}-2\bigr)\bigl(x^{2}-3\bigr) =5x^{4}\cdot x^{2}-5x^{4}\cdot 3 -2\cdot x^{2}+2\cdot 3 =5x^{6}-15x^{4}-2x^{2}+6.
  1. Multiplico 2x por \bigl(x^{5}-2x-3\bigr):
2x\bigl(x^{5}-2x-3\bigr)=2x\cdot x^{5}-2x\cdot(2x)-2x\cdot 3 =2x^{6}-4x^{2}-6x.
  1. Faço a subtração conforme a regra do quociente: primeiro resultado menos o segundo:
\bigl(5x^{6}-15x^{4}-2x^{2}+6\bigr)-\bigl(2x^{6}-4x^{2}-6x\bigr).
Agora combino termo a termo:
  • 5x^{6}-2x^{6}=3x^{6}.
  • -15x^{4} fica sozinho: -15x^{4}.
  • -2x^{2}-(-4x^{2})=-2x^{2}+4x^{2}=+2x^{2}.
  • 0x -(-6x)=+6x.
  • +6-0=+6.
Portanto o numerador simplificado é
3x^{6}-15x^{4}+2x^{2}+6x+6.
Juntando com o denominador ao quadrado, a derivada final simplificada é
y'=\frac{3x^{6}-15x^{4}+2x^{2}+6x+6}{\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}}.

Passo 6

Uma observação prática para a prova (truquezinho): às vezes é mais fácil primeiro dividir polinômios quando o grau do numerador é maior que o do denominador. Aqui é possível fazer a divisão
\frac{x^{5}-2x-3}{x^{2}-3}=x^{3}+3x+\frac{7x-3}{x^{2}-3},
o que permite calcular a derivada como
y'=3x^{2}+3+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{7x-3}{x^{2}-3}\right),
e aí aplicar a regra do quociente apenas ao quociente menor \dfrac{7x-3}{x^{2}-3}. Esse caminho dá o mesmo resultado final que encontramos e pode ser mais rápido em prova, porque reduz o trabalho algébrico. É bom conhecer os dois jeitos e escolher o que parecer menos sujeito a erro na hora.

Resposta

y'=\frac{3x^{6}-15x^{4}+2x^{2}+6x+6}{\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}}

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