Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vou rever as regras de derivação que vou usar, explicando de forma bem direta.
- Regra do poder (power rule): para um monômio
com inteiro, a derivada é
Isto significa que você multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
- Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
- Regra do quociente (quotient rule): se
com , então
Aqui
é a derivada do numerador e
é a derivada do denominador. É bom memorizar como “
” no numerador e “
” no denominador.
Essas são as ferramentas necessárias.
Passo 3
Identifico
e
na nossa função e calculo as derivadas básicas:
-
Tomo
. Usando a regra do poder e a regra da soma: Explicando cada termo:; e há um sinal menos; constante tem derivada zero. -
Tomo
. Usando a regra do poder:
Passo 4
Aplico a regra do quociente com os resultados acima. Substituindo
na fórmula:
Esse já é um resultado correto e aceitável na prova — mostra que você sabe usar a regra do quociente. Agora vamos simplificar o numerador para uma forma polinomial mais explícita, passo a passo.
Passo 5
Expando e simplifico o numerador com cuidado, juntando termos semelhantes:
- Multiplico
:
- Multiplico
por :
- Faço a subtração conforme a regra do quociente: primeiro resultado menos o segundo:
Agora combino termo a termo:
-
. -
fica sozinho: . -
. -
. -
.
Portanto o numerador simplificado é
Juntando com o denominador ao quadrado, a derivada final simplificada é
Passo 6
Uma observação prática para a prova (truquezinho): às vezes é mais fácil primeiro dividir polinômios quando o grau do numerador é maior que o do denominador. Aqui é possível fazer a divisão
o que permite calcular a derivada como
e aí aplicar a regra do quociente apenas ao quociente menor
. Esse caminho dá o mesmo resultado final que encontramos e pode ser mais rápido em prova, porque reduz o trabalho algébrico. É bom conhecer os dois jeitos e escolher o que parecer menos sujeito a erro na hora.