Calcule y^{\prime} :
y=\frac{x+1}{x \sin (x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada y^{\prime} da função
y=\frac{x+1}{x\sin(x)}.
Informações dadas:
  • A função é dada explicitamente por \displaystyle y=\frac{x+1}{x\sin(x)}.
  • Não há outras condições (por exemplo, valores numéricos); a tarefa é obter a expressão simbólica de y^{\prime}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão para facilitar a diferenciação. Divido o numerador por x:
y=\frac{x+1}{x\sin(x)}=\frac{x}{x\sin(x)}+\frac{1}{x\sin(x)}=\frac{1}{\sin(x)}+\frac{1}{x\sin(x)}.
Em notação trigonométrica inversa isso fica
y=\csc(x)+\frac{1}{x}\csc(x).
Essa forma é útil porque podemos derivar termo a termo e aplicar regra do produto ao segundo termo.

Passo 3

Vou listar as regras de derivação que eu vou usar (explicando cada uma brevemente):
  • Derivada de uma soma: a derivada do somatório é a soma das derivadas. Ou seja, se y=u+v então y'=u'+v'.
  • Derivada do produto: se w=uv então w'=u'v+uv'. Aqui usarei isso para \dfrac{1}{x}\csc(x).
  • Derivada de \dfrac{1}{x}: \displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}. (Vem da regra de potência: (x^{-1})'=-x^{-2}.)
  • Derivada de \csc(x): entender \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}. Pela regra do quociente ou da cadeia,
\frac{d}{dx}\csc(x) = -\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} = -\csc(x)\cot(x).
Pequeno lembrete: \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} e \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}.

Passo 4

Agora aplico derivação termo a termo à expressão y=\csc(x)+\dfrac{1}{x}\csc(x).
Primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc(x)\bigr)=-\csc(x)\cot(x).
Segundo termo: é um produto u(x)v(x) com u(x)=\dfrac{1}{x} e v(x)=\csc(x).
Calculo as derivadas parciais:
u'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}},\qquad v'(x)=\left(\csc(x)\right)'=-\csc(x)\cot(x).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\csc(x)\right)=u'v+uv'=-\frac{1}{x^{2}}\csc(x)+\frac{1}{x}\bigl(-\csc(x)\cot(x)\bigr).

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos obtemos:
y'=-\csc(x)\cot(x)-\frac{1}{x^{2}}\csc(x)-\frac{1}{x}\csc(x)\cot(x).
Agora vamos organizar e simplificar essa expressão. Agrupo os termos semelhantes:
y'=-\csc(x)\cot(x)\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)-\frac{1}{x^{2}}\csc(x).
Posso escrever 1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}, então
y'=-\csc(x)\left(\frac{x+1}{x}\cot(x)+\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 6

Transformo para uma única fração racional em termos de \sin e \cos para ficar bem explícito e pronto para a prova. Uso \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)} e \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}. Então
y'=-\frac{1}{\sin(x)}\left(\frac{x+1}{x}\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Coloco tudo sobre o denominador comum x^{2}\sin^{2}(x). Primeiro termo vira -\dfrac{x(x+1)\cos(x)}{x^{2}\sin^{2}(x)} e o segundo termo vira -\dfrac{\sin(x)}{x^{2}\sin^{2}(x)}. Somando os numeradores:
y'=-\frac{x(x+1)\cos(x)+\sin(x)}{x^{2}\sin^{2}(x)}.
Essa é uma forma compacta e correta da derivada, apropriada para resposta final.

Resposta

y'=-\frac{x(x+1)\cos(x)+\sin(x)}{x^{2}\sin^{2}(x)}

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