Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas:
- A função é dada explicitamente por
. - Não há outras condições (por exemplo, valores numéricos); a tarefa é obter a expressão simbólica de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão para facilitar a diferenciação. Divido o numerador por
:
Em notação trigonométrica inversa isso fica
Essa forma é útil porque podemos derivar termo a termo e aplicar regra do produto ao segundo termo.
Passo 3
Vou listar as regras de derivação que eu vou usar (explicando cada uma brevemente):
- Derivada de uma soma: a derivada do somatório é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Derivada do produto: se
então . Aqui usarei isso para . - Derivada de
: . (Vem da regra de potência: .) - Derivada de
: entender . Pela regra do quociente ou da cadeia,
Pequeno lembrete:
e
.
Passo 4
Agora aplico derivação termo a termo à expressão
.
Primeiro termo:
Segundo termo: é um produto
com
e
.
Calculo as derivadas parciais:
Calculo as derivadas parciais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos obtemos:
Agora vamos organizar e simplificar essa expressão. Agrupo os termos semelhantes:
Posso escrever
, então
Passo 6
Transformo para uma única fração racional em termos de
e
para ficar bem explícito e pronto para a prova. Uso
e
. Então
Coloco tudo sobre o denominador comum
. Primeiro termo vira
e o segundo termo vira
. Somando os numeradores:
Essa é uma forma compacta e correta da derivada, apropriada para resposta final.