Calcule y^{\prime} :
y=x^{2} \tan (x)

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}\tan(x) e pede para calcular y^{\prime}. Informações fornecidas:
  • A função é o produto de duas expressões em x: uma parte polinomial x^{2} e uma função trigonométrica \tan(x).
  • Objetivo: encontrar a derivada \,y^{\prime}\, em função de x.

Passo 2

Identificar a estratégia: como y é um produto de duas funções de x, é natural usar a regra do produto para derivar. Vou escrever a regra do produto e explicar o que cada símbolo significa:
(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v + u\cdot v^{\prime}
Aqui:
  • u(x) e v(x) são duas funções de x.
  • u^{\prime} é a derivada de u em relação a x.
  • v^{\prime} é a derivada de v em relação a x.
    No nosso caso, escolhemos u(x)=x^{2} e v(x)=\tan(x).

Passo 3

Derivar u(x)=x^{2}. Uso a regra do poder (power rule): se u(x)=x^{n} então
u^{\prime}(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=2:
u^{\prime}(x)=2x.
Explicando de forma simples: a derivada de x^{2} é 2x porque a inclinação instantânea de x^{2} cresce linearmente com x.

Passo 4

Derivar v(x)=\tan(x). Posso obter a derivada usando a definição \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e a regra do quociente. Faço a derivada passo a passo:
v(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Aplicando a regra do quociente \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-f g^{\prime}}{g^{2}} com f=\sin(x) e g=\cos(x):
v^{\prime}(x)=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^{2}(x)} =\frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1, obtemos
v^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}^{2}(x).
Portanto a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^{2}(x). Comentário amigável: isso significa que a inclinação da tangente cresce onde o cosseno é pequeno (perto de \frac{\pi}{2} por exemplo).

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos. Temos u(x)=x^{2}, u^{\prime}(x)=2x, v(x)=\tan(x), v^{\prime}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x). Então:
y^{\prime}=u^{\prime}v+u v^{\prime}=2x\cdot\tan(x)+x^{2}\cdot\operatorname{sec}^{2}(x).
Posso deixar também numa forma fatorada, se preferir:
y^{\prime}=x\bigl(2\tan(x)+x\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr).

Resposta

y^{\prime}=2x\tan(x)+x^{2}\operatorname{sec}^{2}(x)

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