Calcule
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular
. Informações relevantes que recebemos:
- A função é produto de três fatores:
, e . - A função
exige (domínio onde a expressão está bem definida). - O objetivo é encontrar a derivada
em termos de .
Passo 2
Vamos escolher o método: como
é produto de três fatores, usaremos a regra do produto. Lembra dela? Para duas funções
e
vale
Para três funções
a regra generaliza naturalmente para
ou seja, derivamos cada fator uma vez mantendo os outros dois sem derivar, e somamos tudo.
Passo 3
Identifiquemos os fatores e suas derivadas básicas:
-
. Derivada: . (Regra: .) -
. Derivada: . (Derivada de é .) -
. Derivada: . (Derivada de é .)
Passo 4
Aplique a regra do produto para três fatores:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Simplifique termo a termo. No segundo termo
. No terceiro termo temos o sinal negativo. Assim:
Passo 6
Agora vamos organizar e fatorar para ficar mais compacto — uma técnica útil na prova para não se perder com termos. Agrupamos os dois primeiros termos que têm
em comum:
Passo 7
Simplifique a expressão dentro do parêntese:
Portanto
Passo 8
Podemos ainda fatorar um
em evidência para deixar uma forma compacta e muito utilizável em prova: