Calcule y^{\prime} :
y=x^{2}(1+\ln x) \cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^{2}(1+\ln x)\cos(x)
e pede para calcular y^{\prime}. Informações relevantes que recebemos:
  • A função é produto de três fatores: x^{2}, (1+\ln x) e \cos(x).
  • A função \ln x exige x>0 (domínio onde a expressão está bem definida).
  • O objetivo é encontrar a derivada y^{\prime} em termos de x.

Passo 2

Vamos escolher o método: como y é produto de três fatores, usaremos a regra do produto. Lembra dela? Para duas funções u e v vale
(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.
Para três funções f,g,h a regra generaliza naturalmente para
(fgh)^{\prime}=f^{\prime}gh+fg^{\prime}h+fgh^{\prime},
ou seja, derivamos cada fator uma vez mantendo os outros dois sem derivar, e somamos tudo.

Passo 3

Identifiquemos os fatores e suas derivadas básicas:
  • f(x)=x^{2}. Derivada: f^{\prime}(x)=2x. (Regra: \dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}.)
  • g(x)=1+\ln x. Derivada: g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}. (Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.)
  • h(x)=\cos x. Derivada: h^{\prime}(x)=-\sin x. (Derivada de \cos x é -\sin x.)

Passo 4

Aplique a regra do produto para três fatores:
y^{\prime}=f^{\prime}gh+fg^{\prime}h+fgh^{\prime}.
Substituindo f,f^{\prime},g,g^{\prime},h,h^{\prime} obtemos
y^{\prime}=2x\,(1+\ln x)\cos x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}\cos x + x^{2}(1+\ln x)(-\sin x).

Passo 5

Simplifique termo a termo. No segundo termo x^{2}\cdot\frac{1}{x}\cos x = x\cos x. No terceiro termo temos o sinal negativo. Assim:
y^{\prime}=2x(1+\ln x)\cos x + x\cos x - x^{2}(1+\ln x)\sin x.

Passo 6

Agora vamos organizar e fatorar para ficar mais compacto — uma técnica útil na prova para não se perder com termos. Agrupamos os dois primeiros termos que têm \cos x em comum:
y^{\prime}=\bigl(2x(1+\ln x)+x\bigr)\cos x - x^{2}(1+\ln x)\sin x.

Passo 7

Simplifique a expressão dentro do parêntese:
2x(1+\ln x)+x = x\bigl(2(1+\ln x)+1\bigr) = x\bigl(3+2\ln x\bigr).
Portanto
y^{\prime}=x(3+2\ln x)\cos x - x^{2}(1+\ln x)\sin x.

Passo 8

Podemos ainda fatorar um x em evidência para deixar uma forma compacta e muito utilizável em prova:
y^{\prime}=x\Bigl((3+2\ln x)\cos x - x(1+\ln x)\sin x\Bigr).

Resposta

y^{\prime}=x\Bigl((3+2\ln x)\cos x - x(1+\ln x)\sin x\Bigr)

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