Calcule z=\frac{(1+i)^{2}(2 i-1) \cdot i^{3}}{(i+1(i-1))}+2 i \quad (4 valores)

Passo 1

O enunciado dá a expressão
z=\frac{(1+i)^{2}(2 i-1)\cdot i^{3}}{(i+1)(i-1)}+2 i.
Vou assumir que por “(4 valores)” queres os quatro valores clássicos para um número complexo: a parte real, a parte imaginária, o módulo e o argumento (valor principal). Listei aqui as informações dadas:
  • A expressão completa de z está acima.
  • Iremos usar propriedades básicas de i: i^{2}=-1, i^{3}=-i, etc.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Relembrando fórmulas e propriedades que vamos usar:
  • Potências de i: i^{0}=1, i^{1}=i, i^{2}=-1, i^{3}=-i, i^{4}=1, e assim por diante (ciclo de período 4).
  • Multiplicação de complexos em forma a+bi: multiplicar termo a termo como números, lembrando que i^{2}=-1.
  • Para dividir por um número real escalar, dividi-se as partes real e imaginária por esse escalar.
  • Módulo: |z|=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^{2}+(\operatorname{Im}z)^{2}}.
  • Argumento (principal): se \operatorname{Im}z=0 e \operatorname{Re}z>0, então \arg z=0.

Passo 3

Calcular (1+i)^{2} passo a passo:
(1+i)^{2}=1^{2}+2\cdot1\cdot i + i^{2}=1+2i+i^{2}.
Como i^{2}=-1, temos
(1+i)^{2}=1+2i-1=2i.

Passo 4

Agora multiplico (1+i)^{2} por (2i-1):
2i\cdot(2i-1)=2i\cdot2i - 2i\cdot1 = 4i^{2}-2i.
Como i^{2}=-1, obtemos
4i^{2}-2i=4(-1)-2i=-4-2i.

Passo 5

Multiplicar o resultado por i^{3}. Lembrando i^{3}=-i:
(-4-2i)\cdot i^{3}=(-4-2i)\cdot(-i).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
(-4)\cdot(-i)=4i,\qquad (-2i)\cdot(-i)=2i^{2}=2(-1)=-2.
Somando,
(-4-2i)\cdot(-i)=4i-2=-2+4i.

Passo 6

Calcular o denominador (i+1)(i-1):
(i+1)(i-1)=i^{2}-1.
Como i^{2}=-1,
i^{2}-1=-1-1=-2.

Passo 7

Agora a fração inteira (antes do +2i) é
\frac{-2+4i}{-2}.
Dividindo cada parte por -2:
\frac{-2}{-2}=1,\qquad \frac{4i}{-2}=-2i,
logo a fração vale
1-2i.

Passo 8

Somar +2i conforme o enunciado:
z=(1-2i)+2i=1.
Portanto o número complexo final é z=1.

Passo 9

Extrair as quatro quantidades pedidas:
  • Parte real: \operatorname{Re}z=1.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}z=0.
  • Módulo: |z|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
  • Argumento principal: como \operatorname{Im}z=0 e \operatorname{Re}z>0, \arg z=0 (pode também ser dado como 0+2k\pi, k\in\mathbb{Z}, mas o valor principal é 0).

Resposta

\operatorname{Re}z=1
\operatorname{Im}z=0
|z|=1
\arg z=0

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