Para qual valor de k será o vetor u=(1,-2, \mathrm{k}) em \Re^{3} uma combinação linear dos vetores v=(3,0,-2) e w=(2,-1,-5) ?
Solução. Faça \mathrm{u}=\mathrm{a}(3,0,-2)+\mathrm{b}(2,-1,-5)=(3 \cdot \mathrm{a}+2 \mathrm{~b},-\mathrm{b},-2 \cdot \mathrm{a}-5 \mathrm{~b})
Forme o sistema: \left\{\begin{array}{c}3 a+2 b=1 \\\\ -b=-2 \\\\ -2 a-5 b=k\end{array}\right.
Pelas duas primeiras equações, a=-1 e b=2. Substitua na última equação para obter \mathrm{k}=-8.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
u=(1,-2,k),\qquad v=(3,0,-2),\qquad w=(2,-1,-5).
A pergunta é: para qual valor de k o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores v e w; isto é, existe a,b\in\mathbb{R} tais que u=a\,v+b\,w ?
Informações relevantes: os três componentes de cada vetor (as três coordenadas) e a incógnita k.
Passo 2
O que significa " u é combinação linear de v e w "? Significa que existem escalares reais a e b tais que
u = a\,v + b\,w.
Escrevendo cada lado por coordenadas:
(1,-2,k) = a(3,0,-2) + b(2,-1,-5).
Aqui a e b são números reais que multiplica(m) os vetores v e w. A igualdade de vetores vale exatamente quando as três coordenadas são iguais entre si.
Passo 3
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} 3a + 2b = 1,\\[4pt] 0\cdot a + (-1)b = -2,\\[4pt] -2a -5b = k. \end{cases}
Nota: na segunda equação o termo 0\cdot a vem da segunda coordenada de v que é 0; escrevi só para ficar claro de onde vem.]
Passo 4
Resolver o sistema: comece pela segunda equação. Ela é
-b = -2.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
b = 2.
Passo 5
Substitua o valor de b na primeira equação para achar a: