3- (2.5) Calculea seguente integral
integralC F cdot d r
onde F(x, y)=(e^x+x^2 y, e^y-x y^2) e C é a circunferencia x^2+y^2=25, orientada no sentido horario.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=e^x+x^2y, Q(x,y)=e^y-xy^2,
e C é o círculo x^2+y^2=25 percorrido no sentido horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha numa integral dupla sobre a região interior ao contorno.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^x+x^2y, Q(x,y)=e^y-xy^2
Calculamos as derivadas parciais que entram no Teorema de Green:
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^y-xy^2r) =-y^2, partial Ppartial y =partialpartial yl(e^x+x^2yr) =x^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-y^2-x^2 =-l(x^2+y^2r)

Passo 3

O Teorema de Green diz, para orientação positiva (anti-horário),
ointC^+Fcdot dr =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Como C é percorrida no sentido horário, invertemos o sinal:
integralCFcdot dr =-integral duplaDl[-(x^2+y^2)r],dA =integral duplaD(x^2+y^2),dA

Passo 4

Para avaliar
integral duplaD(x^2+y^2),dA, usamos coordenadas polares (r,theta), com 0<= r<=5, 0<=theta<=2pi. Então x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta, de modo que
integral duplaD(x^2+y^2),dA =integral0^2pi!!integral0^5r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^2pi!!integral0^5r^3,dr,dtheta
Primeiro a parte em r:
integral0^5r^3,dr =r^44|0^5 =5^44 =6254
Depois em theta:
integral0^2pi6254,dtheta =6254times 2pi =625pi2

Resposta

625pi2

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