(2,0) Usando o teste da comparação ou comparação no limite verifique a convergência ou divergência da série sumn=1^infty n^3 / 2-3n^8 / 3+2 n-1.
5. Usando o teste da razão ou da raiz, verifique se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(2,0) testar a convergência da série
sumn=1^inftyn^3/2-3n^8/3+2n-1
usando o teste da comparação (ou comparação no limite).
5. testar outras séries pelo teste da razão ou da raiz – porém essas séries não foram especificadas no enunciado.

Passo 2

Para a parte (2,0), note que, quando ntoinfty, o termo geral
an = n^3/2-3n^8/3+2n-1
se comporta como
n^3/2n^8/3 = n^3/2 - 8/3 = n^-7/6
Ou seja, an é assintoticamente equivalente a bn = 1/n^7/6.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação no limite entre an e bn. Calculamos
limntoinftyanbn = limntoinfty n^3/2-3n^8/3+2n-11n^7/6 = limntoinfty n^3/2-3n^8/3+2n-1,n^7/6
Focando nos maiores expoentes,
n^3/2n^8/3;n^7/6 = n^3/2 - 8/3 + 7/6 = n^(9/6 -16/6 +7/6) = n^0 = 1
Logo
limntoinftyanbn = 1, 0<const<infty

Passo 4

Como sum bn = sum 1/n^7/6 é uma p-série com p=7/6>1, ela converge. Pelo teste de comparação no limite, sum an também converge.

Passo 5

Para a parte 5, não há como aplicar o teste da razão ou da raiz porque as séries a serem testadas não foram apresentadas no enunciado.

Resposta

A série
sumn=1^inftyn^3/2-3n^8/3+2n-1
converge.
Para a parte 5, não é possível resolver pois as séries não foram especificadas.

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