Usando o teste da razão ou da raiz, verifique se as séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n 10^n+1n^10

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n10^n+1n^10
usando o teste da razão ou da raiz. O conteúdo principal é aplicação de testes de convergência para séries de termos que envolvem fator exponencial e potência polinomial.

Passo 2

Vamos usar o teste da razão na forma absoluta. Se definirmos
an = 10^n+1n^10,
o teste da razão diz que, se
L = limntoinftyan+1an,
então a série absoluta sum an converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

Calculamos
an+1an = 10^(n+1)+1/(n+1)^1010^n+1/n^10 =10;n^10(n+1)^10 =10gl(nn+1gr)^10
Tomando o limite,
L = limntoinfty10gl(nn+1gr)^10 =10cdot1=10

Passo 4

Como L=10>1, o teste da razão garante que a série
sumn=1^inftyan diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente. Ademais, como limntoinftyanneq0, a própria série alternada
sum (-1)^n an também diverge (série não satisfaz nem condição necessária de termos nulos).

Resposta

A série diverge.

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